高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案

第二章 无限期模型与世代交叠模型

高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案

第2章无限期模型与世代交叠模型

2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数 ,

Y?F?K，AL?，或者采用紧凑形式 。假设 。假设所

有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。

（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的k值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。

（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。

证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本 ，同时厂商受到生产函数 的约束。这是一个典型的最优化问题。

构造拉格朗日函数：

求一阶导数：

得到：

上式潜在地决定了最佳资本k的选择。很明显，k的选择独立于Y。

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第二章 无限期模型与世代交叠模型

上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。

（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：

为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k， 的劳动人数，则它也会生k的决定独立于Y的选择。因此，如果单一厂商拥有

的产量。这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。 产

2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。令 和 分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：

（a）已知 和 和W，则此人效用最大化的 和 是多少？ （b）两期消费之间的替代弹性为

，或 。证明，若效用函数为（2.43）式，是则 与 之间的替代弹性为 。

答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。

求解约束条件：

将方程（3）代入（1）中，可得：

（1） （2）

（3）

（4）

这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对 求一阶条件可得：

（5）

解得：

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第二章 无限期模型与世代交叠模型

将方程（5）代入（3），则有：

解得：

（6）

将方程（6）代入（5）中，则有：

（7）

（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：

对方程（8）两边取对数可得：

则消费的跨期替代弹性为：

（9） （8）

因此， 越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。

2.3 （a）假设事先知道在某一时刻 ，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。那么，消费是否会在时刻 发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻 前后消费之间的关系。）

（b）假设事先知道，在某一时刻 ，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻 发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻 前后消费之间的关系。)

答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 内，从 到 。

考虑家庭在 时期减少每单位有效劳动的消费为 。然后他在 投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。

这一变化有一效用成本 前 ，在 会有一收益 ，财富的回报率为 ，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为

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