合情推理与演绎推理
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类. 2.合情推理
归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特定义 征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 (1) 通过观察个别情况发现某些相同一般步骤 性质； (2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想) 3.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理； (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结构 ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断. ①大前提——M是P. ②小前提——S是M. ③结论——S是P. 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 由特殊到特殊的推理 (1)找出两类事物之间相似性或一致性； (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想) “三段论”的表示 题型一 归纳推理 1
例1 设f(x)＝x，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，
3＋3并给出证明.
(1)观察下列等式
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1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第五个等式应为________________________.
11157
(2) 已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，经计算得f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则有______.
23n22题型二 类比推理
nb－ma
例2 已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝.类比等
n－m差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________.
(1)给出下列三个类比结论：
①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是 A.0
B.1
C.2
D.3
( )
(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆a2＋b2直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三
2条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________. 题型三 演绎推理
a
例3 已知函数f(x)＝－x(a>0，且a≠1).
a＋a11
(1)证明：函数y＝f(x)的图象关于点(，－)对称；
22(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值.
已知函数y＝f(x)，满足：对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证
明：f(x)为R上的单调增函数.
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.
( ) ( ) ( )
(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.
(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.
( )
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(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋). (6)
22＋＝23
2， 3
33＋＝38
3， 8
44＋＝415
4，…， 15
( )
b(a，b均为实a
b6＋＝6a
数)，则可以推测a＝35，b＝6. ( )
( )
2.数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于 A.28
B.32
C.33
D.27
3.观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52 011的后四位数字为 A.3 125 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10
照此规律，第n个等式可为________.
B.5 625
C.0 625
D.8 125
( )
4. 观察下列等式
5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列.类比以上结论有设T16等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列.
T12答案
T8T12 T4T8
解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn， 则T4＝a1a2a3a4，T8＝a1a2…a8，T12＝a1a2…a12， T16＝a1a2…a16，
T8T12T16因此＝a5a6a7a8，＝a9a10a11a12，＝a13a14a15a16，
T4T8T12T8T12T16而T4，，，的公比为q16，
T4T8T12T8T12T16因此T4，，，成等比数列.
T4T8T12
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基础巩固
A组 专项基础训练 (时间：40分钟)
一、选择题
1.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于
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( )
A.28 答案 C
B.76 C.123 D.199
解析 观察规律，归纳推理.
从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123. 2.定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质： (1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于 A.n
B.n＋1
C.n－1
D.n2
( )
答案 A
解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，
得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1+(n－1). 又∵1*1=1，∴n*1＝n 3.下列推理是归纳推理的是
( )
A.A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B.由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 x2y2
C.由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab
ab
2
2
2
2
D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B
解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.
4.已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a 解析 由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提. a1＋a2＋…＋an5.若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项 n数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为 ( ) B.小前提 C.结论 ( ) D.三段论 第 4 页 c1＋c2＋…＋cn A.dn＝ n c1·c2·…·cn B.dn＝ nnD.dn＝c1·c2·…·cn nnnc1＋cn2＋…＋cnC.dn＝ n 答案 D n?n－1? 解析 若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d， 2?n－1?dd ∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列； 222若{cn}是等比数列，则 … c1·c2·…·cn＝cnq1＋2＋＋(n－1)＝cnq1·1· n?n－1? ， 2 n－1n ∴dn＝c1·c2·…·cn＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D. 2二、填空题 6.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 答案 14 解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， n?n＋3? 则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝， 2易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14. xx 7.若函数f(x)＝(x>0)，且f1(x)＝f(x)＝，当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]，则f3(x)＝________， x＋2x＋2猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________. 答案 xx n 7x＋8?2－1?x＋2n，fn(x)＝f[fn－1(x)](n≥2)， x＋2 x ∴f2(x)＝f( x )＝＝. xx＋2?＋2?3x＋4x＋2x x＋2x 解析 ∵f1(x)＝ 第 5 页
人教版高中数学选修2-2教学案2.1合情推理与演绎推理（学生版）
