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当 时， 对应3个交点． ∵函数 是奇函数， ∴当 时，由 ，
可得当 时， ，此时函数图象对应4个交点， 综上共有7个交点，即方程有7个根． 故选：B． 【点睛】
本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大． 16．2 【解析】 【分析】
利用对数、指数的性质及运算法则直接求解． 【详解】
解： ， ． 故答案为：2． 【点睛】
本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数的性质及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 17．
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【解析】 【分析】
直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】 解：∵ ， ∴
．
故答案为：． 【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 18．1
【解析】考查向量的投影定义，b在a上的投影等于b的模乘以两向量夹角的余弦值 19． 【解析】 【分析】
若函数 在区间 ]上具有单调性，则 ，或 ，解得答案.
【详解】
解：若函数 在区间 上具有单调性， 则 ，或
解得 故答案为：（- ，- ， ） 【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 20．
【解析】 【分析】
设 ， ， ，由si s si 结合三角形的内角和及和角的正弦公式 ， ，可求得 ， ， ，考虑建立化简可求 ，再由
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直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 ，设出单位向量 ， ， ， 推出 ， 则 ，而利用 ，利用基本不等式求解最小值． 【详解】
解： 中设 ， ， ∵si s si ∴si si s 即si s si s si s
∴si s ∵si ≠ ∴ s ， ， ∵
∴ s ， si
∴ ，根据直角三角形可得si ， s ，
∴ ， ，
以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得 ， ， . P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得 设 ， 则 ， ，
， 由 ，
∴ ， ， 则 ．
（也可以直接利用P为线段AB上的一点，三点共线，可得： ，）
故所求的最小值为故答案为： 【点睛】
．
．
本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由 ， 发现 为定值，从而考虑利
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用基本不等式求解最小值．
21．（1） （2） 或 【解析】 【分析】
（1）求出集合A，B，由此能求出A B；
（2）求出 或 ，由此能求出 ． 【详解】
解：（1）∵集合 ， ，． ∴ ． （2） 或 ， ∴ 或 ． 【点睛】
本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集定义等基础知识，是基础题． 22．（1） （2） ，
【解析】 【分析】
（1）由正弦定理化简已知等式可得 的值，结合范围B （0，π），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值；
（2）由已知及正弦定理可得 ，利用余弦定理可求 ，联立即可解得a，c的值. 【详解】
解：（1）∵ ． 又∵由正弦定理
，可得：si
，
∴可得： ， ∵B （0，π）， ∴ ．
（2）由si si 及正弦定理 ，得c=2a，①．
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又 ， ，由余弦定理 s ，得 ，② 由①②得 ， ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
23．（1） ， （2）
【解析】 【分析】
（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间；
（2）利用（1）的函数关系式，进一步建立α和β的关系式，最后求出函数的值． 【详解】
解：（1）函数 si s s ．
si
，
si ，
令 ，
解得： ，
故函数的单调递增区间为： ， ． （2）由于 si ，
所以 si ， si ，
角α，β的终边不共线， 所以 ，
整理得
，
所以 ． 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．
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【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2017-2024学年高一上学期期末考试数学试题-
