第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．复数(1＋i)(1＋ai)是实数，则实数a等于( ) A．2 B．1 C．0 D．－1 解析：(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(1＋a)i，若是实数， 则1＋a＝0，所以a＝－1. 答案：D 2．复数z＝
－1＋i
－1在复平面内对应的点在( ) 1＋i
B．第二象限 D．第四象限
2
A．第一象限 C．第三象限
－1＋i（－1＋i）（1－i）－1＋i＋i－i
解析：z＝－1＝－1＝－1＝i－1＝－1＋i，
1＋i（1＋i）（1－i）2则复数z对应的点为(－1，1)，此点在第二象限． 答案：B
z2－2z3．已知复数z＝1－i，则＝( )
z－1
A．2i B．－2i C．2 D．－2 解析：因为z＝1－i，
z2－2z（1－i）2－2（1－i）－2所以＝＝＝－2i.
z－11－i－1－i
答案：B
4．复数z为纯虚数，若(3－i)·z＝a＋i(i为虚数单位)，则实数a的值为( ) 11
A. B．3 C．－ D．－3 33
解析：由已知设z＝ki(k∈R，且k≠0)， 则(3－i)·ki＝a＋i，即k＋3ki＝a＋i，
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??k＝a，1
由两个复数相等的充要条件知?解得a＝k＝.
3?3k＝1，?
答案：A
5．设i是虚数单位，A．1＋i C．－1＋i
解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
2
2
是复数z的共轭复数．若z·
B．1－i D．－1－i ＝a－bi，又z·
i＋2＝2z，则z＝( )
i＋2＝2z，
所以(a＋b)i＋2＝2a＋2bi，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i. 答案：A 二、填空题
6．已知a，b∈R，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)＝________． 解析：因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1， 所以(a＋bi)＝(2＋i)＝3＋4i. 答案：3＋4i
7．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·
i解析：因为z＝1＋i，则所以＋i·
i答案：2
2
8．下面关于复数z＝的结论，正确的命题是________(填序号)．
－1＋i①|z|＝2；②z＝2i；③z的共轭复数为1＋i；④z的虚部为－1. 22（－1－i）
解析：z＝＝＝－1－i，
－1＋i（－1＋i）（－1－i）所以|z|＝（－1）＋（－1）＝2，z＝(－1－i)＝2i.
2
2
2
2
22
2
2
z＝________．
＝1－i.
z＝
1＋ii（1＋i）
＋i(1－i)＝＋i＋1＝2. i－1
z的共轭复数为－1＋i.z的虚部为－1，所以②④正确．
答案：②④ 三、解答题
9．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数是解：因为z＝1＋i，所以az＋2b＝1－i，
，求实数a、b使az＋2b＝(a＋2z).
2
＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
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(a＋2z)＝(a＋2)－4＋4(a＋2)i＝(a＋4a)＋4(a＋2)i. 因为a、b都是实数， 所以由az＋2b?a＋2b＝a＋4a，?
＝(a＋2z)，得?
?a－2b＝4（a＋2），?
2
2
222
??a＝－2，??a＝－4，
?解得或? ?b＝－1?b＝2.??
10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4. (1)求复数z的共轭复数；
(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．
解：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i， 所以z的共轭复数z＝－2－4i. (2)由(1)知，w＝
＋ai＝－2＋(a＋4)i，
2
2
2
所以|w|＝（－2）＋（a＋4）＝20＋a＋8a， |z|＝25.
依题意，得20＋a＋8a≤20，即a＋8a≤0， 所以－8≤a≤0，即a的取值范围为 [－8，0]．
B级 能力提升
1．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
1＋i
2
2
z
A．E B．F C．G D．H 解析：由题图可得z＝3＋i，
z3＋i（3＋i）（1－i）4－2i所以＝＝＝＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，
1＋i1＋i（1＋i）（1－i）2
－1)．
答案：D
4i（2＋i）
＝________． －z·z－1
2．(2016·全国Ⅲ卷改编)若z＝1＋2i，则
－
解析：因为z·z＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，
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4i（2＋i）4i（2＋i）所以＝＝i(2＋i)＝2i－1.
z·z－14答案：2i－1
（1＋i）＋2（5－i）3．已知复数z＝.
3＋i(1)求|z|；
(2)若z(z＋a)＝b＋i，求实数a，b的值． 解：(1)因为z＝
2i＋10－2i1010（3－i）
＝＝＝3－i，
3＋i3＋i10
2
所以|z|＝10.
(2)又z(z＋a)＝b＋i，则(3－i)(3－i＋a)＝(3－i)＋(3－i)a＝8＋3a－(a＋6)i＝b＋i，
???8＋3a＝b，?a＝－7，
所以???
??－（a＋6）＝1b＝－13.??
2
因此实数a＝－7，b＝－13.
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高中数学人教A版选修1-2习题：第三章3.2-3.2.2复数代数形式的乘除运算 Word版含答案
