∴△ACG≌△BDF， ∴∠ACG＝∠BDF＝60°， ∵∠ECB＝60°， ∴G、C、E三点共线， ∵AM⊥CG，ON⊥CE， ∴AM∥ON， ∴
AMON?ACOC?21， 在Rt△ONC中，∠OCN＝60°， ∴ON＝sin∠OCN?OC＝32?OC， ∵OC＝13OA＝2，∴ON＝3，
∴AM＝23， ∵ON⊥GE，
∴NE＝GN＝12GE，
连接OE，
在Rt△ONE中，NE＝OE2?ON2＝62?(3)2＝33，∴GE＝2NE＝233，
∴S＝11△AGE2GE?AM＝2×233×23＝611，
∴图中两个阴影部分的面积为611，故答案为611。
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技巧点拨：本题考查了平行线的性质，垂径定理，勾股定理的应用。
垂径定理练习题
1. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（ ）
A. OE＝BE
B. BC?BD
D. 四边形ODBC是菱形
??C. △BOC是等边三角形
2. 温州是著名的水乡，河流遍布整个城市，某河流上建有一座美丽的石拱桥（如图），已知桥拱半径OC为5m，水面宽AB为46m，则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（ ）
A. 46m B. 7m
C. 5＋6m D. 6 m
4*3. 在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过B、C两点，且⊙O半径r＝10，则OA
5的长为（ ）
A. 3或5 B. 5 C. 4或5 D. 4
**4. 如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为42，则a的值是（ ）
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A. 4
B. 3＋2 C. 32 D. 3＋3
**5. 如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA＋PC的最小值为 。
**6. 如图，⊙O的半径是4，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF，若OG＝1，则EF为 。
*7. 已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）。 （1）求证：AC＝BD；
（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长。
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**8. 如图，在半径为23的扇形AOB中，∠AOB＝120°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E。
（1）当BC＝4时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由。
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垂径定理同步练习参考答案
1. B 解析：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径， ∴DE＝CE，BC??BD?，
根据已知不能推出OE＝BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形。 故选B。
2. D 解：连接OA，如图，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD＝12AB＝12?46＝26，
在Rt△OAD中，OA＝5，OD＝OA2?AD2＝52?(26)2＝1， ∴CD＝OC＋OD＝5＋1＝6（m），故选D。 3. A 解析：如图，作AD⊥BC于D， ∵AB＝AC＝5 ∴AD垂直平分BC， ∴点O在直线AD上， 连接OB，
在Rt△ABD中，sinB＝ADAB＝45， ∵AB＝5， ∴AD＝4，
∴BD＝AB2?AD2＝3，
在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝3，
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(名师整理)最新中考数学专题复习《垂径定理》精品教案
