第6节 空间向量及空间位置关系
考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直；4.理解直线的方向向量及平面的法向量；5.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
知 识 梳 理
1.空间向量的有关概念
名称 空间向量 相等向量 相反向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 (或平行向量) 共面向量 2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得
平行于同一个平面的向量 定义 在空间中，具有大小和方向的量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 a＝λb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念
→→
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫π
做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相
2
垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积 共线 垂直 向量表示 坐标表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a≠0，b≠0) 模 夹角 |a| 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝22a21＋a2＋a3 a1b1＋a2b2＋a3b3 2222a2b21＋a2＋a3·1＋b2＋b35.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 6.空间位置关系的向量表示
位置关系 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m 平面α，β的法向量分别为向量表示 l1∥l2 l1⊥l2 l∥α l⊥α α∥β α⊥β n1∥n2?n1＝λn2 n1⊥n2?n1·n2＝0 n⊥m?n·m＝0 n∥m?n＝λm n∥m?n＝λm n⊥m?n·m＝0 n，m [常用结论与微点提醒]
→→→
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O为平面内任意
一点.
→→→→
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
3.向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立.
4.用向量知识证明立体几何问题，仍离不开立体几何中的定理.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( )
(2)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.( )
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量.( ) (4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.( )
解析 (1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个；
(2)a⊥α；(3)若a，b，c中有一个是0，则a，b，c共面，不能构成空间一个基底；(4)若〈a，
b〉＝π，则a·b<0，故不正确.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(老教材选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( ) A.α∥β
B.α⊥β D.以上均不对
C.α，β相交但不垂直
解析 ∵n1≠λn2，且n1·n2＝－23≠0，∴α，β相交但不垂直. 答案 C
3.(老教材选修2－1P118A组T6改编)已知a＝(cos θ，1，sin θ)，b＝(sin θ，1，cos θ)，则向量a＋b与a－b的夹角是________.
解析 a＋b＝(cos θ＋sin θ，2，cos θ＋sin θ)，a－b＝(cos θ－sin θ，0，sin θ－cos θ)，
∴(a＋b)·(a－b)＝(cos θ－sin θ)＋(sin θ－cos θ)＝0， π
∴(a＋b)⊥(a－b)，则a＋b与a－b的夹角是.
2答案
π 2
4.(2020·成都七中周测)已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( ) A.(－1，1，1) C.?－
B.(1，－1，1) D.?
33??3
，，－? 33??3
2222
?
?333?，－，－? 333?
解析 设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， →???n·AB＝0，?－x＋y＝0，则?化简得?∴x＝y＝z.
?→－x＋z＝0，???n·AC＝0，答案 C
5.(2018·合肥月考)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是( )
A.平行 C.异面垂直
B.相交 D.异面不垂直
→→→
解析 以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图1??11??1??→→
略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M?0，1，?，O?，，0?，N?，0，1?.AM·ON＝
2??22??2??
?0，1，1?·?0，－1，1?＝0，
????2??2??
∴ON与AM垂直，易得ON与AM异面，故ON与AM异面垂直. 答案 C
→→→
6.(2020·西安月考)如图所示，在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E→
为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示).
→→→→1→解析 OE＝OA＋AE＝OA＋AD
21→1→→1→→
＝OA＋(OD－OA)＝OA＋OD
2221→11→→111＝OA＋×(OB＋OC)＝a＋b＋c. 222244111答案 a＋b＋c
244
考点一 空间向量的数量积及其应用
典例迁移
【例1】 (经典母题)如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，
G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
→→→→(1)EF·BA；(2)EG·BD. →→→
解 设AB＝a，AC＝b，AD＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 1→→1→1
(1)EF＝BD＝c－a，BA＝－a，
222
111→→?11?
EF·BA＝?c－a?·(－a)＝a2－a·c＝，
224?22?→→→→→→→
(2)EG·BD＝(EA＋AD＋DG)·(AD－AB)
?1→→→→?→→＝?－AB＋AD＋AG－AD?·(AD－AB) ?2??1→1→1→?→→＝?－AB＋AC＋AD?·(AD－AB)
22??2?111?＝?－a＋b＋c?·(c－a)
?222?
1111?1?＝?－1×1×＋1×1×＋1＋1－1×1×－1×1×?
2222?2?
2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第6节空间向量及空间位置关系教学案含解析新人教A版
