数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十三章

第十三章 函数列与函数项级数

一、证明题

1.讨论下列函数列或函数项级数在所示区间D上是否一致收敛，并说明理由：

(1) fn(x)=x?(2) fn(x)=

21,n=1,2,…,D=(-1,1); 2nx,n=1,2,…D=(-∞,+∞); 221?nx(3) fn(x)=

1??(n?1)x?1, 0?x???n?1 (n=1,2……); ??0, 1?x?1?n?1?x, n=1,2,…, (i) D=[0,+∞]; (ii) D=[0,1000]; nx(5) fn(x)=sin, n=1,2,…, (i) D=[-L,L]; (ii) D=[-∞,+∞];

n(4) fn(x)=

(?1)n?1(6) ?2, D=[-∞,+∞];

x?nx2?1?(7) ?, (i) D=[-∞,+∞]; (ii) D=. ,10??10(1?x2)n?1??2. 证明:设f(x)→f(x),x∈D; an→0(n→∞),(an>0),若对每一

个自然数n.有

|fn(x)-f(x)|≤an, x∈D, 则{fn}在D上一致收敛于f.

3. 设{fn}为定义在[a,b]上的函数列,且对每一个n,fn在点a右连续,但{fn(an)}是发散的,证明在任何开区间(a,a+δ)这里(a+δ

4. 设函数项级数

?un(x)在D上一致收敛于S(x),函数g(x)

n在D上有界,证明级数

?g(x)u(x)在

?uD上一致收敛于

g(x)S(x).

5. 若在区间I上,对任何自然数n, |un(x)|≤Vn(x), 证明当

?vn(x)在I上一致收敛时,级数

n(x)在I也一致收敛.

6. 设un(x)(n=1,2,…)是[a,b]上的单调函数,证明:若与

?un(a)

?un(b)都绝对收敛,则级数

?un(x)在[a,b]上绝对并一致

收敛.

7. 在[0,1]上定义函数列

1?1, x???nnun(x)?? n?1,2?

?0, x?1?n?证明: 级数数.

?un(x)在[0,1]上一致收敛,但它不存在优级

8. 证明:级数

?(-1)xnn?0?n(1-x)在[0,1]上绝对并一致收敛,

但由其各项绝对值组成的级数在[0,1]上却不一致收敛.

9. 设f为定义在区间(a,b)内的任一函数,记fn(x)=f.

10. 设{un(x)}为[a,b]上正的递减且收敛于零的函数列,每一个un(x)都是[a,b]上的单调函数.则级数

u1(x)-u2(x)+u3(x)-u4(x)+… 在[a,b]上一致收敛.

11. 证明: 若函数列{fn}在[a,b]上满足定理13.10的条件,则{fn}在[a,b]上一致收敛.

12. 证明: 函数f(x)=续的导函数.

13. 证明: 定义在[0,2π]上的函数项级数(0

?rcosnxnn?0?[nf(x)],n=1,2,……,证明函数列{fn}在(a,b)内一致收敛于nsinnx?n3在(-∞,+∞)上连续,且有连

?0?rcosnxdx?2π

nn?02π?14. 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及其极限函数的连续性,可积性和可微性.

(1) fn(x)=xe?nx2(n=1,2,…)x∈[-L,L];