最新普通高考数学科一轮复习精品学案第36讲空间向量及其应用汇总

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第36讲空间向量及

其应用

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2013年普通高考数学科一轮复习精品学案

第36讲 空间向量及其应用

一．课标要求：

（1）空间向量及其运算

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；

② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

① 理解直线的方向向量与平面的法向量；

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向

本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测2013年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲

1．空间向量的概念

向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

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表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2．向量运算和运算率 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 加法交换率：?Skip Record If...? 加法结合率：?Skip Record If...? 数乘分配率：?Skip Record If...?

说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。?Skip Record If...?平行于?Skip Record If...?记作?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?。

注意：当我们说?Skip Record If...?、?Skip Record If...?共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说?Skip Record If...?、?Skip Record If...?平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：对空间任意两个向量?Skip Record If...?（?Skip Record If...?≠?Skip Record If...?）、?Skip Record If...?，?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?的充要条件是存在实数?Skip Record If...?使?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?

注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?（?Skip Record If...?≠0），则有?Skip Record If...?＝?Skip Record

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If...??Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数?Skip Record If...?，使?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?（?Skip Record If...?≠0），则有?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?（若用此结论判断?Skip Record If...?、?Skip Record If...?所在直线平行，还需?Skip Record If...?（或?Skip Record If...?）上有一点不在?Skip Record If...?（或?Skip Record If...?）上）。

⑵对于确定的?Skip Record If...?和?Skip Record If...?，?Skip Record If...?＝?Skip Record If...??Skip Record If...?表示空间与?Skip Record If...?平行或共线，长度为 |?Skip Record If...??Skip Record If...?|，当?Skip Record If...?>0时与?Skip Record If...?同向，当?Skip Record If...?<0时与?Skip Record If...?反向的所有向量。

⑶若直线l∥?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导?Skip Record If...?的表达式。

推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量?Skip Record If...?的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式

?Skip Record If...??Skip Record If...? ①

其中向量?Skip Record If...?叫做直线l的方向向量。

在l上取?Skip Record If...?，则①式可化为 ?Skip Record If...? ② 当?Skip Record If...?时，点P是线段AB的中点，则 ?Skip Record If...? ③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。 注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。

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4．向量与平面平行：如果表示向量?Skip Record If...?的有向线段所在直线与平面?Skip Record If...?平行或?Skip Record If...?在?Skip Record If...?平面内，我们就说向量?Skip Record If...?平行于平面?Skip Record If...?，记作?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?。注意：向量?Skip Record If...?∥?Skip Record If...?与直线a∥?Skip Record If...?的联系与区别。

共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理 如果两个向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?不共线，则向量?Skip Record If...?与向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?共面的充要条件是存在实数对x、y，使?Skip Record If...?①

注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使 ?Skip Record If...?④

或对空间任一定点O，有?Skip Record If...?⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x, y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。

又∵?Skip Record If...??Skip Record If...?代入⑤，整理得

?Skip Record If...? ⑥

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5．空间向量基本定理：如果三个向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?、?Skip Record If...?不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使?Skip Record If...?

说明：⑴由上述定理知，如果三个向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?、?Skip Record If...?不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是?Skip Record If...?，这个集合可看作由向量?Skip Record If...?、?Skip Record If...?、?Skip Record If...?生成的，所以我们把{?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，

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