三带紧支撑正交内插尺度函数的构造
王亚军1, 冯象初2
【摘 要】 提出了设计同时具有紧支撑、正交性、内插性和正则性的3-带尺度函数的方法,从而利用Walter小波采样定理能够快速而准确地重构多分辨空间Vj(φ)的信号f(t),除了计算机的有限字长误差外,没有任何截断误差。 【期刊名称】江苏科技大学学报（自然科学版） 【年(卷),期】2007(021)003 【总页数】3
【关键词】 采样定理; 尺度函数; 内插性; 正则性
0 引 言
在二带情形下,Xia Xiang-geng和Zhang Zhen[2]首先对紧支撑正交内插尺度函数进行了讨论,并证明了除Haar小波外,尺度函数的正交性和紧支撑性是不相容的。因此,为构造这类尺度函数只能考虑M-带情形(M≥3)。文献[5]给出了3-带紧支撑正交对称尺度函数的构造方法。对于3-带紧支撑正交内插尺度函数,文献[3]只给出了正则阶为K=2的3-带紧支撑正交内插尺度函数的结果,对K>2的3-带紧支撑正交内插尺度函数的构造还未见相关文献。本文首先研究了3-带紧支撑正交内插尺度滤波器的特征,在此基础上给出了3-带紧支撑正交内插尺度函数的一般性构造方法。
1 3-带紧支撑正交内插尺度滤波器的特征
一个3-带的尺度函数满足下面的双尺度方程[4] ( 1 )
其中h0,i(n)=h0(3n+i),i=0,1,2称为滤波器h0(n)的3个子滤波器。利用z-变
换,滤波器h0(n)可以用多相位分量表示为 ( 2 )
H0,i(z)是子滤波器的z-变换,称为滤波器h0(n)的多相位分量。
当且仅当尺度滤波器h0(n)满足或相应的尺度函数才具有内插性质(3)，并且当尺度滤波器满足h0(n)=h0(-n)时,尺度函数关于原点对称。又当尺度滤波器正交时,有 ( 3 )
组合以上结论,可以得到下述定理:
定理1 一个3-带FIR实尺度滤波器是一个正交对称内插的尺度滤波器,当且仅当它是Haar型的尺度滤波器。
证明: 由对称性 h0,i(n)=h0(3n+i)=h0(-3n-i)=h0[3(-n-1)+(3-i)]=h0,3-i(-n-1),i=0,1,2。利用多相位表示,即 H0,i(z)=zH0,3-i(z-1),i=0,1,2。由正交性条件式(3) 得到因为h0(n)是FIR的,H0,1(ω)是余弦多项式,所以对某个整数m。因此是Haar型的尺度滤波器。
正则阶是尺度滤波器或尺度函数的另一个重要的性能指标,它刻划了相应的多分辨分析对光滑信号的逼近能力,并且与尺度函数的光滑性密切相关。一个3-带尺度滤波器h0(n)是K-阶正则的,如果能够分解为
Q(z)是一个不包含前面因子的多项式,满足进一步定义滤波器的偏矩如下 按照K-正则的等价条件式[4],有下面的性质:
性质1 一个3-带的内插尺度滤波器是K-阶正则的,当且仅当它的偏矩满足条件 结合定理1和性质1有
定理2 φ(x)是K-阶正则的3-带紧支撑正交内插尺度函数，当且仅当尺度滤波
器h0(n)满足 ( 4 )
且H0(ω)在上没有零点。
条件(a)和(b)保证尺度滤波器h0(n)是正交的,条件(c)保证h0(n)是内插的,条件(d)保证h0(n)是正则的。H0(ω)在上没有零点是尺度滤波器生成尺度函数的充分条件。
2 3-带正交内插尺度滤波器的设计
由定理2,为了得到尺度函数φ(x),只需求得相应的尺度滤波器,而一个3-带紧支撑正交内插尺度滤波器的设计转化为求解式(4)所示的方程组。正交性条件关于h0(n)是二次的,正则性条件是线性的,这是一个二次的非线性方程组,K=2,3时,可以求得它的精确解,K≥4时,可以求得它的数值解。以 K=2,3,4为例,图1～图4分别画出了尺度函数的时域图形和尺度滤波器的幅频响应,从幅频响应图中可以看出,H0(ω)在上没有零点,从而相应的尺度函数是正交的。 类似于二带情形,将Walter采样定理[1]推广到三带情形,有: 令φ(t)是如上构造的尺度函数,如果信号f(t)∈VJ(φ),那么
利用上式可以快速而准确地重构在多分辨空间VJ(φ)中的信号f(t),除了计算机的有限字长误差外,没有任何截断误差。 参考文献:
[1] WALTER G G.A sampling theorem for wavelet subspaces[J]. IEEE Trans, Info Theory,1992,38:881-884.
[2] XIA Xianggeng, ZHANG Zhen.On sampling theorem,wavelets and wavelet transforms[J]. IEEE Trans, Signal Processing. 1993,41:3524-3535.
三带紧支撑正交内插尺度函数的构造
