2019-2020学年北京市房山区高三（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 已知集合??={??|?1≤??≤2}，??={0,1，2，3}，则??∩??=( )
A. {0,1} B. {?1,0，1} C. {0,1，2} D. {?1,0，1，2} 2. 已知复数??=√2+??，则z的虚部为( )
??A. 3
1
2
B. √3
C. ?3
1
2 D. ?√3
3. 等差数列{????}中，若??1+??4+??7=6，????为{????}的前n项和，则??7=( )
A. 28 B. 21 C. 14 D. 7
4. 从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生
选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E，各等级人数所占比例依次为：A等级15%，B等级40%，C等级30%，D等级14%，E等级1%.现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生人数为( ) A. 55 B. 80 C. 90 D. 110 5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )
A. 3
6. 若点??(cos
3 A. √3
5??6
2
B. 3
,sin
5??6
4
C. 2 D. 4
)在角??的终边上，则??????2??=( )
3 B. ?√3
??24
C. √3 D. ?√3
7. 已知双曲线C的方程为??2?
线PQ的斜率的 取值范围是( )
=1，点P，Q分别在双曲线的左支和右支上，则直
A. (?2,2)
C. (?∞,?2)∪(2,+∞)
??
B. (?2,2)
D. (?∞,?2)∪(2,+∞)
1
1
11
? |?=√3”的( ) ? ，? ? 与? 8. 设????均为单位向量，则“????夹角为3”是“|?? +??
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A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
M为棱AB的中点，9. 如图，在正方体???????????1??1??1??1中，
动点P在平面??????1??1及其边界上运动，总有????⊥??1??，则动点P的轨迹为( )
A. 两个点 B. 线段
C. 圆的一部分
D. 抛物线的一部分
10. 已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体
积分规则如表1
所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1田径综合赛项目及积分规则
项目 积分规则 100米跑 以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分 跳高 以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分 掷实心球 以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分 表2某队模拟成绩明细 姓名 甲 乙 丙 丁 100米跑(秒) 13.3 12.6 12.9 13.1 跳高(米) 1.24 1.3 1.26 1.22 掷实心球(米) 11.8 11.4 11.7 11.6 根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
11. 已知点??(2,0)，??(0,2)，以线段MN为直径的圆的方程为______． 12. 函数??(??)=(??+1)(?????)是偶函数，则??(2)=______．
13. 已知数列{????}满足????+1>????，且其前n项和????满足????+1
述条件的数列的通项公式????=______． 14. 已知??(??)=cos(2??+??)(0
??(?)对任意的实数x都成立，则??=______．
122?|??|,???>1,
15. 已知函数??(??)={??
2???,??≤1.
①当??=1时，函数??(??)的值域是______；
则实数a的取值范围是______． ②若函数??(??)的图象与直线??=1只有一个公共点，
16. 已知矩形ABCD中????=2，????=1，当每个????(??=1,2，3，4，5，6)取遍±1时，
? +??2????? +??3????? +??4????? ???? +??6?????? |的最小值是______，最大值是|??1????????????????????+??5?????????______．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
????⊥????，17. 如图，在平面四边形ABCD中，????=3√3，
????=3，sin∠??????=
3√3
，∠??14
??
??
=3．
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??
(Ⅰ)求sin∠??????的值； (Ⅱ)求BD，AD的值．
18. 某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养茶
业．该县农科所为了
对比A，B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别种植了A，B两种茶叶各20亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：
A：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3，59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2；
B：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，52.7，53.4，54.9，55.6，56.7，56.9，58.7；
(Ⅰ)从A，B两种茶叶亩产数据中各任取1个，求这两个数据都不低于55的概率； (Ⅱ)从B品种茶叶的亩产数据中任取2个，记这两个数据中不低于55的个数为X，求X的分布列及 数学期望；
(Ⅲ)根据以上数据，你认为选择该县应种植茶叶A还是茶叶B？说明理由．
19. 如图，在四棱锥???????????中，????⊥平面PAD，△??????为等边三角形，????//????，
????=????=2????=2，E，F分别为棱PD，PB的中点． (Ⅰ)求证：????⊥平面PCD；
(Ⅱ)求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
(Ⅲ)在棱PC上是否存在点G，使得????//平面AEF？若存在，求????的值，若不存在，说明理由．
????
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20. 已知椭圆E：
??2??2
+
??2??2
=1(??>??>0)的右焦点为(2,0)，且经过点(0,2)．
(Ⅰ)求椭圆E的方程以及离心率；
(Ⅱ)若直线??=????+??与椭圆E相切于点P，与直线??=?4相交于点??.在x轴是否存在定点M，使????⊥????？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
21. 已知函数??(??)=(2???1)??????+???1．
(Ⅰ)求曲线??=??(??)在点(1,??(1))处的切线方程； (Ⅱ)求证：??(??)>?1．
22. 设n为给定的不小于5的正整数，考察n个不同的正整数??1，??2，…，????构成的集
合??={??1,??2,…,????}，若集合P的任何两个不同的非空子集所含元素的总和均不相等，则称集合P为“差异集合”．
(Ⅰ)分别判断集合??={1,3，8，13，23}，集合??={1,2，4，8，16}是否是“差异集合”；(只需写出结论)
(Ⅱ)设集合??={??1,??2,…,????}是“差异集合”，记????=?????2???1(??=1,2,…,??)，求证：数列{????}的前k项和????≥0(??=1,2，…，??)；
(Ⅲ)设集合??={??1,??2,…,????}是“差异集合”，求??+??+?+??的最大值．
1
2
??
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