高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理巩固提升含解
析新人教A版必修50621123
[学生用书P79(单独成册)]
[A 基础达标]
1．(2019·合肥高三调研)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，
a＝4b，c＝13，则b＝( )
A．1 C．3
2
B．2 D．13
2
2
2
解析：选A.由余弦定理知(13)＝a＋b－2abcos 60°，因为a＝4b，所以13＝16b12
＋b－2×4b×b×，解得b＝1，故选A.
2
2．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若23cosA＋cos 2A＝0，
2
a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 C．8
B.9 D．5
1222
解析：选D.由23cosA＋cos 2A＝0得23cosA＋2cosA－1＝0，解得cos A＝±.
51
因为A是锐角，所以cos A＝.
5
12222
又因为a＝b＋c－2bccos A，所以49＝b＋36－2×b×6×. 513
解得b＝5或b＝－.又因为b＞0，所以b＝5.
5
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)－c＝4，且C＝60°，则ab的值为( )
A．8－43 4C. 3
B.1 2D． 3
2
2
2
2
2
2
2
2
解析：选C.因为C＝60°，所以c＝a＋b－2abcos 60°，即c＝a＋b－ab.① 又因为(a＋b)－c＝4，所以c＝a＋b＋2ab－4.② 4
由①②，得－ab＝2ab－4，所以ab＝.
3
4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC中，AB＝3，BC＝13，
1
2
2
2
2
2
AC＝4，则AC边上的高为( )
A.
32
2
B.33
2
3C. 2
2
2
2
D．33
解析：选B.由BC＝AB＋AC－2AB·ACcos A，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A，得1π
cos A ＝.因为A为△ABC的内角，所以A＝，
23
所以AC边上的高为AB·sin A＝3×
333
＝. 22
b＋c2A5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos＝，则△ABC是( )
22cA．直角三角形 C．等边三角形
B.锐角三角形 D．等腰直角三角形
b＋c1＋cos Ab12A解析：选A.在△ABC中，因为cos＝，所以＝＋， 22c22c2bb2＋c2－a2b2222
所以cos A＝.由余弦定理，知＝，所以b＋c－a＝2b，
c2bcc即a＋b＝c，所以△ABC是直角三角形．
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b＝ac，且c＝2a，则cos B＝________．
2
2
2
2
a2＋c2－b2a2＋4a2－2a23
解析：因为b＝ac，且c＝2a，所以cos B＝＝＝.
2ac2a·2a4
2
3
答案： 4
7．在△ABC中，边a，b的长是方程x－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________． 解析：由题意，得a＋b＝5，ab＝2.所以c＝a＋b－2abcos C＝a＋b－ab＝(a＋b)－3ab＝5－3×2＝19，所以c＝19.
答案：19
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a＝3，b＝4，c＝6，则bccos A＋accos B＋abcos C的值是________．
解析：bccos A＋accos B＋abcos C＝
2
2
2
2
2
2
2
2
b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2a2＋b2＋c2
2
＋
2
＋
2
＝2
. 161222
因为a＝3，b＝4，c＝6，所以bccos A＋accos B＋abcos C＝×(3＋4＋6)＝.
2261
答案： 2
1
9．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长． 解：由余弦定理的推论得：
AB2＋AC2－BC292＋82－722
cos A＝＝＝，
2·AB·AC2×9×83
设所求的中线长为x，由余弦定理知：
AC2?AC?x＝??＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，
23?2?
2
2
则x＝7.
所以所求中线长为7.
10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B. (1)求B；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
解：(1)由bsin A＝3acos B及正弦定理得sin B＝3cos B， π
即tan B＝3，因为B是三角形的内角，所以B＝. 3(2)由sin C＝2sin A及正弦定理得c＝2a. π22
由余弦定理及b＝3，得9＝a＋c－2accos，
3即9＝a＋4a－2a，所以a＝3，c＝23.
[B 能力提升]
11．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是( ) A．(8，10) C．(22，10)
B.(22，10) D．(10，8)
2
2
2
解析：选B.只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可．
??a＋1－3
故?2×a×1＞0，解得2
1＋3＞a，??1＋a＞3，
2
2
2
1＋3－a＞0，
2×1×3
222
2＜a＜10.
2πsin（A＋C）22
12．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，B＝，若a＋c＝4ac，则
3sin Asin C＝________．
a2＋c2b2＋2accos B2π
解析：因为＝＝4，B＝，
acac3
1
322
所以b＝5ac.由正弦定理得sinB＝5sin Asin C＝，
43sin（A＋C）sin B103
所以sin Asin C＝，所以＝＝. 20sin Asin Csin Asin C3103
答案：
3
322
13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)＝b－ac.
4(1)求cos B的值；
(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值． 3522222
解：(1)由(a－c)＝b－ac，可得a＋c－b＝ac.
44
a2＋c2－b255
所以＝，即cos B＝. 2ac88
5
(2)因为b＝13，cos B＝，
8
5132222
由余弦定理，得b＝13＝a＋c－ac＝(a＋c)－ac，
44又a＋c＝2b＝213，
13
所以13＝52－ac，解得ac＝12.
4
14．(选做题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－3sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
解：(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－3sin A·cos B＝0，即有sin Asin B－3sin Acos B＝0.①
因为sin A≠0，所以sin B－3 cos B＝0.又cos B≠0， π
所以tan B＝3.又0 3(2)由余弦定理，有b＝a＋c－2accos B. 1 因为a＋c＝1，cos B＝， 2 2 2 2 ?1?1 有b＝3?a－?＋.② ?2?4 2 2 12 又0 4 1 1 即有≤b<1. 2 正弦定理和余弦定理(强化练)[学生用书P81(单独成册)] 一、选择题 1．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则△ABC的周长是( ) A．17 C．16 2 2 2 B.19 D．18 2 解析：选D.由余弦定理b＝a＋c－2accos B，有b＝9＋64－24，即b＝7，则a＋b＋ c＝18.故选D. 2．在△ABC中，已知a＝18，b＝16，A＝150°，则这个三角形解的情况是( ) A．有两组解 C．无解 解析：选B.由正弦定理，得所以只有一组解． 3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a－b＝3bc，sin C＝23sin 2 2 B.有一组解 D．不能确定 18164 ＝，解得sin B＝.因为b＜a，所以B＜A， sin 150°sin B9 B，则A＝( ) A．30° C．120° B.60° D．150° 2 2 2 2 解析：选A.因为sin C＝23sin B，所以c＝23b，因为a－b＝3bc，所以a－b2 2 2 2 2 2 b2＋c2－a2c2－3bcc23 －c＝3bc－c，所以b＋c－a＝c－3bc，所以cos A＝＝＝－2bc2bc2bc2c32333 ＝－＝－＝，所以A＝30°. 2b2222 →→ 4．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB·AC等于( ) 3 A．－ 22C. 3 2B.－ 33D． 2 →→→→ 解析：选D.由向量模的定义和余弦定理，得|AB|＝3，|AC|＝2，cos〈AB，AC〉＝ AB2＋AC2－BC2113→→→→→→→→ ＝.因为AB·AC＝|AB|·|AC|·cos〈AB，AC〉，所以AB·AC＝3×2×＝. 2AB·AC442 5．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，则这个三角形的最大角为( ) A．30° B.45° 1
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理巩固提升含解析新人教A版必修50621123
