高中数学：第二章 2.2 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 Word版含答案

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平面向量的线性运算

2．2.3 向量数乘运算及其几何意义

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预习课本P87～90，思考并完成以下问题 (1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？

(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？

(3)向量共线定理是怎样表述的？

(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？

[新知初探]

1．向量的数乘运算

(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反. (2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：

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①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb；

特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)； λ(a－b)＝λa－λb.

[点睛] (1)λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．

1

(2)对于非零向量a，当λ＝时，λa表示a方向上的单位向量．

|a|(3)注意向量数乘的特殊情况： ①若λ＝0，则λa＝0； ②若a＝0，则λa＝0.

应该特别注意的是结果是零向量，而非实数0. 2．向量共线的条件

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.

[点睛] (1)定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.

(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使ta＋sb＝0，则a与b共线；若两个非零向量a与b不共线，且ta＋sb＝0，则必有t＝s＝0.

3．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. [小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)λa的方向与a的方向一致．( )

(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．( )

(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( ) ★答案★：(1)× (2)× (3)×

2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是( ) A．b＝2a C．a＝2b ★答案★：A

1――→→

3．在四边形ABCD中，若AB＝－CD，则此四边形是( )

2A．平行四边形

B．菱形 B．b＝－2a D．a＝－2b

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C．梯形 ★答案★：C

4．化简：2(3a＋4b)－7a＝______. ★答案★：－a＋8b

D．矩形

向量的线性运算 [典例] 化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； 1

(2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 6

[解] (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. 1(2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)

61

＝(－12a＋24b) 6＝－2a＋4b.