数学广角——鸽巢原理 教学设计
【教学内容】
人教义务教育教科书数学六年级下册第68--69页的内容。
【教材分析】：
“数学广角”是人教版六年级下册第五单元的内容。在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题，如任意367名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日。在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就可以了，并不需要指出是哪个物体（或哪个人），也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体（或人）找出来。这类问题依据的理论，我们称之为“鸽巢原理”。本节课教材借助把4枝铅笔放进3个文具盒中的操作情境，介绍了一类较简单的“鸽巢原理”，即把m个物体任意分放进n个空鸽巢里（m>n，n是非0自然数），那么一定有一个鸽巢中放进了至少2个物体。关于这类问题，学生在现实生活中已积累了一定的感性经验。教学时可以充分利用学生的生活经验，放手让学生自主思考，先采用自己的方法进行“证明”，然后再进行交流，在交流中引导学生对“枚举法”、“反证法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的抽象思维能力。让学生通过本内容的学习，帮助学生加深理解，学会利用“鸽巢问题”解决简单的实际问题。在此过程中，让学生初步经历“数学证明”的过程。实际上，通过“说理”的方式来理解“鸽巢原理”的过程就是一种数学证明的雏形，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。还要注意培养学生的“模型”思想，这个过程是将具体问题“数学化”的过程，能从纷繁的现实素材中找出最本质的数学模型，是体现学生数学思维和能力的重要方面。
【学情分析】：
鸽巢原理是学生从未接触过的新知识，难以理解鸽巢原理的真正含义，发现有相当多的学生他们自己提前先学了，在具体分的过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。
1．年龄特点：六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，引发学生的学习兴趣，
使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解， 发挥学生学习的主体性。
2．思维特点：知识掌握上，六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少，尤其对于“数
学证明”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论，要让学生不知其然，更要知其所以然。
【教学目标】：
1．知识与能力目标：
经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。渗透“建模”思想。
2．过程与方法目标：
经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3．情感、态度与价值观目标：
通过“鸽巢原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
【教学重点】：
经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。
【教学难点】：
理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教学准备】：
多媒体课件、扑克牌、盒子、铅笔、书、练习纸。
【设计理念】：
1．用具体的操作，将抽象变为直观。
“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以理解。怎样让学生理解这句话呢？我觉得要让学生充分的操作，一在具体操作中理解“总有”和“至少”，二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。通过操作，最直观地呈现“总有一个文具盒中至少放进2支铅笔”这种现象，让学生理解这句话。 2．充分发挥学生主动性，让学生在证明结论的过程中探究方法，总结规律。
学生是学习的主动者，特别是这种原理的初步认识，不应该是教师牵着学生手去认识，而是创造条件，让学生自己去探索，发现。所以我认为应该提出问题，让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确，让学生初步经历“数学证明”的过程，逐步提高学生的逻辑思维能力。
3．适当把握教学要求。
我们的教学不同于民间的培优机构，因此在教学中不需要求学生说理的严密性，也不需要学生确定过于抽象的“鸽巢”和“物体”。 【教学过程】：
一、游戏激趣，初步体验。
在上课前，我们先热热身，一起玩抢椅子游戏好吗？谁愿意参加？请五位同学到前面来，这有四把椅子，老师说：开始！你们几个都要坐到椅子上。听明白了吗？好开始。告诉老师他们坐下了吗？老师不用看，就知道一定有一把椅子上至少做了两名同学。对吗？假设请这五位同学再反复坐几次，老师还敢肯定地说，不管怎么做，总有一把椅子上至少坐了两个同学，你们相信吗？其实这里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，想不想研究啊？ 一、呈现问题，引出探究
刚才我为什么能做出准确的判断呢？因为在这个魔术中蕴含着一个有趣的数学原理。今天我们就从简单的情况入手，去尝试发现它??请看！ 课件呈现例1情境：4支铅笔放进3个笔筒中。 1.会有几支铅笔放在同一个笔筒里？
猜想：4支铅笔放进3个笔筒中，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。 2.“总有”和“至少有2支”是什么意思？ “总有”表示一定有。
“至少有2支”表示等于或大于2支
3.“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”对吗？可以用什么方法验证？ 预设：对，可以用摆一摆或列算式解决。 学生上台摆一摆 问：还有其它摆法吗？ 二、自主探究，初步感知
1.活动：同桌两人合作，通过摆一摆、画一画或写一写等方法把所有情况都列举出来。 2.汇报交流：哪位同学来展示你的想法？ （1）摆一摆（板书：摆一摆）
问：一共有几种情况？有重复吗？有遗漏吗？ （2）画一画（板书：画一画）
问：对比刚才的摆一摆，你更喜欢哪一种？为什么？
预设：画一画，因为画一画让我们的思路更加清晰，不易重复、遗漏。 （3）用数表示（板书：用数表示）
4（4，0，0） 4（3，1，0） 4（2，2，0） 4（2，1，1） 问：有喜欢这个方法的吗？为什么？ 预设：有，因为从形到数，更加简洁。 （4）出示4支铅笔放进3个笔筒里的所有情况
引导学生观察四种摆法，把符合要求的笔筒标出予以“检验”，理解：总有一个笔筒里至少有2支铅笔。
小结：像这样将所有情况一一列举出来的方法，叫做“枚举法”（板书：枚举法） 3.假设法
一定要将所有情况都列举出来吗？还有别的方法吗？ 学生思考，全班交流
预设1：每个笔筒中先平均放1支，这样还剩下一支，剩下的这一支随便放入一个笔筒就是2支。
预设2：4÷3＝1??1，1+1＝2。
问：为什么要先平均分？（板书：平均分）
预设：为了使每个笔筒里的铅笔数尽可能地少，寻找至少的情况。 问：算式中的各个数代表什么？
介绍：像这样的方法，我们称为假设法。
4. 确认结论：4支铅笔放进3个笔筒中，总有一个笔筒里至少有２支铅笔。 三、提升思维，构建模型 1.加深感悟
（1）如果5只铅笔放进4个笔筒，是否总有一个笔筒里至少有２支铅笔呢？ 为什么？ （2）总有一个笔筒至少放进2支铅笔时，铅笔数和笔筒数可以是多少？为什么？ 问：怎么都选用假设法而不使用枚举法？ 预设：更简便
（3）回忆我们列举的数据，你发现了什么？
小结：铅笔数比笔筒数多1，在这个前提下总有一个笔筒至少放进2支铅笔。 2.引出课题
（1）介绍“鸽巢原理”
今天我们发现的这一规律，其实早在19世纪，德国数学家“狄里克雷”就已经发现了。人们为了纪念他，就把这个规律用他的名字命名，叫“狄里克雷原理”。它有两个经典案例，
一个是“6只鸽子飞回5个鸽巢,总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子”。另一个是“10个苹果放进9个抽屉，总有一个抽屉至少放进2个苹果”，所以也称 “鸽巢原理”或“抽屉原理”。这样的问题就称为“鸽巢问题”或“抽屉问题”。（板书课题）
（2）提示：运用鸽巢问题的关键是要找出谁相当于“鸽子”，谁相当于“鸽巢”。 问：这里苹果与铅笔就相当于？抽屉与笔筒相当于？ 3.完善模型
（1）如果鸽子的数量不是比鸽巢的数量多1呢？这个结论还成立吗？
请同学翻开书本68页，完成做一做的第1题：5支鸽子飞进3个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进2支鸽子。为什么？ 学生汇报交流。
预设1：5÷3＝1??2,1+2＝3。 预设1：5÷3＝1??2,1+1＝2。
教师引导学生质疑讨论，同时用动态图演示过程，发现至少有的鸽子数是2而不是3。 （2）观察商与至少数的关系，你发现了什么？
至少有的鸽子数等于鸽子数除以鸽巢数的商多1。（板书：商多1） 四、深入研究，验证模型
1.出示例2：把7本书放入3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书，为什么？
问：情境中谁相当于鸽子？谁相当于鸽笼？
2.17张卡片分给5个同学，总有一个同学至少拿到几张卡片？ 3.你能利用“鸽巢原理”揭秘课前魔术吗？ 五、总结
1.回顾刚才的探究过程，你学到了什么？
2.你能尝试用含有字母的表达式来归纳解决这一类“鸽巢问题”的方法吗？ 六、利用模型，解决问题
课件出示：从大街上任意找27个人，他们中至少有3个人属相相同。 问：你能像这样试着举出生活中应用鸽巢问题的例子吗？ 七、作业设计
作业：书本71页练习十三的1、2、3
思考：（1）6个人坐3把椅子，总有一把椅子上至少坐2个人，这是为什么？
（2）盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出几个球？
鸽巢原理1
