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专题 24 解三角形中的最值、范围问题
解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦 定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角” 要注意 a
“角转边”，另外
c, ac, a2 c2 三者的关系 . 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含
有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑 用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是 “变角、变函数名和变运算形式” ，其中的核心是“变角” ，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异 的依据就是三角公式 .
1 、正弦定理：
a
b sin B
c sin C
2R ，其中 R 为 VABC 外接圆的半径
sin A
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化 果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（ 1 ） sin 2 A sin2 B
（ 2 ） b cosC （ 3 ）
.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征
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.如
sin Asin B sin 2 C
a2 b2 ab c2
c cosB a sin B cosC
sin C cosB sin A （恒等式）
bc sin B sin C a
2
sin A b2 c2
2
2
2 、余弦定理： a2 变式： a 最值
2
2bc cosA
b c
2bc 1 cos A 此公式在已知 a, A 的情况下，配合均值不等式可得到 b c 和 bc 的
4 、三角形中的不等关系
（1 ）任意两边之和大于第三边：
在判定是否构成三角形时， 只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可
.
由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少
（2 ）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：
a b
其中由 A
A B B
sin A sin B cosA cosB
A B
sin A sin B 仅在一个三角形内有
cosA cosB 利用的是余弦函数单调性，而
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效.
5 、解三角形中处理不等关系的几种方法
（ 1 ）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）
（ 2 ）利用均值不等式求得最值
【经典例题】
例 1.【 2024 届百校联盟 TOP20 高三四月联考全国一卷】已知四边形
中， ，
设
与 面积分别为 ，则 的最大值为 _____.【答案】
【解析】 分析：利用余弦定理推
，求出 的表达式， 利用二次函数以及余弦函数的值
的范围，求
的最大值即可．
点睛：求解三角函数的最值
(或值域 )时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、
余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得．
例 2.【 2024 届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在
中，角 A,B,C 所对的边分
别为
，则实数 a 的取值范围是 ____________【.答案】
，
，所以
，
.
【解析】 由
得
则由余弦定理
，
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得
，解得 ，又 ， 所以 的范围是 .
例 3.【 2024 届浙江省杭州市高三第二次检测】在△
ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为 a ，b ， c．若对
任意λ∈R，不等式
恒成立，则
的最大值为 _____．【答案】 2
例 4.【衡水金卷信息卷三】已知
的三边分别为 ， ， ，所对的角分别为 ， ， ，且满足
，且
的外接圆的面积为 ，则 的最大值的取值
范围为
．【答案】
的三边分别为 ， ， 可得：
【解析】由
，
可知：
，
，
，
例 5.【 2024 届湖南省株洲市高三检测（二）
】已知 中，角 所对的边分别是 ,且
.
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(1) 求角 的大小； (2) 设向量
，边长
，当
取最大值时，求
边的长 .
【答案】 (1) (2) .
【解析】分析： （ 1 ）由题意，根据正弦定理可得
，再由余弦定理可得 ，
由此可求角 的大小；
（2 ）因为
由此可求当 取最大值时，求 边的长 .
（2 ）因为
所以当
时， 取最大值，此时， 由正弦定理得，
例 6.【 2024 届四川省攀枝花市高三第三次
（ 4 月）统考】已知 的内角 的对边分别为 其
面积为 ,且
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；（II ）若
,当
有且只有一解时 ,求实数
的范围及 的最大值 .
（Ⅰ）求角
【答案】 (Ⅰ )
.(Ⅱ ) .
【解析】 分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面积公式化简
得到 ,再解这
个三角方程即得 A 的值 . （ II ）先根据
有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到
.
m 的取值范
围
，再写出 S 的函数表达式求其最大值
详解： (Ⅰ )由己知
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(Ⅱ )由己知，当 有且只有一解时， 或 ,所以 ；
当
时， 为直角三角形，
当
时，由正弦定理 ，
，
所以，当 时，
综上所述， .
例 7.【 2024 届四川省资阳市高三 4 月（三诊）】在
ABC 中，角 A ， B， C 的对边分别为 a ， b ， c，且
a b sinA sinB c sinC 4 ，求 b2
sinB ．
（1 ）求 A ．（ 2 ）若 a
c2 的取值范围． 【答案】（ 1 ） A
；（ 2 ） 16,32 .
3
b2 c2 16 bc
16 ，进而可得结果 .
试题解析：（ 1）根据正弦定理得
a b a b
1 2
c c b ，即 a2
b2
c2 bc ，
则
b2 c2 a2
1 2
，即 cosA
，由于 0
A π，
2bc
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专题24解三角形中地最值、范围问题(解析汇报版).docx
