必考解答题——压轴提升练(一)
函数与导数
(建议用时：45分钟)
1．设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)的图象在点(1，f(1))处与直线y＝2相切． (1)求a，b的值； (2)求f(x)的单调区间． 解 (1)f′(x)＝3x2－3a，
∵曲线在点(1，f(1))处与直线y＝2相切，
?f′?1?＝0，?3－3a＝0，?a＝1，∴?即?解得? ?f?1?＝2，?1－3a＋b＝2，?b＝4.(2)∵f′(x)＝3x2－3.
由f′(x)＞0，解得x＞1或x＜－1， 由f′(x)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，(－∞，－1)； 单调减区间为(－1,1)．
2．已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)． (1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围． 解 (1)因为f(x)＝－x3＋ax2＋b， ?2a?所以f′(x)＝－3x＋2ax＝－3x?x－3?.
??
2
当a＝0时，f′(x)≤0，函数f(x)没有单调递增区间； 2a
当a＞0时，令f′(x)＞0，得0＜x＜3. 2??
故f(x)的单调递增区间为?0，3a?；
??2a
当a＜0时，令f′(x)＞0，得3＜x＜0.
?2?
故f(x)的单调递增区间为?3a，0?.
??
综上所述，当a＝0时，函数f(x)没有单调递增区间； 2??
当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为?0，3a?；
???2?
当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为?3a，0?.
??
2??
(2)由(1)知，a∈[3,4]时，f(x)的单调递增区间为?0，3a?，单调递减区间为(－
???2?
∞，0)和?3a，＋∞?，
??
所以函数f(x)在x＝0处取得极小值f(0)＝b，
3
2a?2a?4a
函数f(x)在x＝3处取得极大值f?3?＝27＋b，
??
由于对任意a∈[3,4]，函数f(x)在R上都有三个零点， f?0?＜0，??
所以??2a?f??＞0，???3?
b＜0，??
即?4a3
＋b＞0，??27
4a3
解得－27＜b＜0，
4a3
因为对任意a∈[3,4]，b＞－恒成立，
27
3
4×33?4a?所以b＞?－27?max＝－27＝－4，
??
所以实数b的取值范围是(－4,0)． a
3．已知函数f(x)＝x＋ln x－1，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点P(1，y0)处的切线平行于直线y＝－x＋1，求函数y＝f(x)的单调区间；
(2)若a＞0，且对x∈(0,2e]时，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围． 解 (1)直线y＝－x＋1的斜率k＝－1， a1函数y＝f(x)的导数为f′(x)＝－x2＋x， f′(1)＝－a＋1＝－1，即a＝2.
221x－2
∴f(x)＝x＋ln x－1，f′(x)＝－x2＋x＝x2. ∵f(x)的定义域为(0，＋∞)．
由f′(x)＞0，得x＞2；由f′(x)＜0，得0＜x＜2.
∴函数f(x)的单调增区间是(2，＋∞)，单调减区间是(0,2)． (2)∵a＞0，f(x)＞0对x∈(0,2e]恒成立， a
即x＋ln x－1＞0对x∈(0,2e]恒成立． 即a＞x(1－ln x)对x∈(0,2e]恒成立， 设g(x)＝x(1－ln x)＝x－xln x，x∈(0,2e]． g′(x)＝1－ln x－1＝－ln x，
当0＜x＜1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数， 当1＜x≤2e时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
所以当x＝1时，函数g(x)在x∈(0,2e]上取到最大值． ∴g(x)≤g(1)＝1－ln 1＝1，∴a的取值范围是(1，＋∞)．
4．济南市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k＞0)．现已知相距36 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)． (1)试将y表示为x的函数；
(2)若a＝1时，y在x＝6处取得最小值，试求b的值．
kakb
解 (1)设点C受A污染源污染指数为x，点C受B污染源污染指数为，36－x其中k为比例系数，且k＞0.
kakb
从而点C处污染指数y＝x＋(0＜x＜36)．
36－xkkb
(2)因为a＝1，所以，y＝x＋，
36－xb??1
y′＝k?－x2＋?36－x?2?，
??令y′＝0，得x＝36?0，当x∈?
1＋?
36
， 1＋b
?
?时，函数单调递减； b?
?36?
，＋∞?时，函数单调递增； 当x∈?
?1＋b?∴当x＝
36
时，函数取得最小值． 1＋b
又此时x＝6，解得b＝25，经验证符合题意． 所以，污染源B的污染强度b的值为25.
创新设计文科作业本压轴提升练1
