第六章 磁场
通过复习后，应该:
1.掌握磁感应强度、毕奥-萨伐尔定律、洛伦兹力、霍尔效应、安培力、磁场对载流线圈的作用、物质的磁性和磁化、电磁感应定律;
2.理解几种电流的磁场、安培环路定理、质谱仪、超导体及其抗磁性、感生电动势、自感现象;
3.了解磁场中的高斯定理、电磁流量计、超导磁体、人体生物磁场、涡旋电场。
6-1 一个半径为0.2m、阻值为200Ω的圆形电流回路，接12V的电压，求回路中心处的磁感应强度。
解: 已知半径r =0.2m，电源电压U=12V，圆形回路的电阻R=200Ω，根据欧姆定律，可求得回路的电流为
I=U/ R=12/200 A=0.06 A
由圆形电流磁场公式，可得回路中心处的磁感应强度为
4??10?7?0.06B??T?1.88?10?7T
2r2?0.2?0I
6-2 一根长直导线上载有电流100A，把它放在50G的均匀外磁场之中，并使导线与外磁场正交，试确定合成磁场为零的点到导线的距离。
解: 长直载流导线产生的磁场，其磁感线是一些围绕导线的同心圆，在导线周围总有一点A，其磁感强度与外磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，该点的合磁场为零。
已知I =100A，B= 50G = 5.0×10 T，根据长直载流导线磁场公式B?-3
?0I，可得A2?a点离导线的距离a为
?0I4??10?7?100a??m?4.0?10?3m?4.0mm ?32?B2??5.0?10
6-3 0.4m长的细管上绕有100匝导线，其电阻为3.14Ω，欲在螺线管内获得200G的磁感应强度，需外加电压多少伏?
-1-2
解: 已知螺线管单位长度上的线圈匝数n =100/0.4=250匝·米，B =200G =2×10 T，根据螺线管电流磁场公式B = μ0nI，可得螺线管通过的电流为
B2?10?222I??A??10A?63.7A ?7?0n4??10?250?已知线圈电阻R =3.14Ω，根据欧姆定律可计算出需加的外电压为 U=IR=2/π×102×3.14V=200V
6-4 一平面上有两个同心的圆形回路，用相同电动势的电池（内阻忽略不计），通过相
-6
反方向的电流，使在中心处产生的磁感应强度为零，已知外圆用铜线，其电阻率为1.7×10
Ω·cm，内圆用铝线，电阻率为2.8×10 Ω·cm，这些导线的截面积相同，外圆直径为200cm，求内圆的直径。
解: 设外圆和内圆的半径分别为r1、r2，则外圆和内圆的导线长分别为L1 =2πr1，L2 =2πr2 ；它们的电阻率分别为ρ1、ρ2，已知两导线截面积相同，设为S，则由电阻公式可得两圆导线电阻R1 和R2 分别为
R1 =ρ1 L1 /S=2πr1 ρ1/ S R2 =2πr2 ρ2 /S
因为两圆导线上加的电压相同，设为U，则它们通过的电流分别为
I1 =U/R1 = US/(2πr1 ρ1) I2 = US/(2πr2 ρ2)
由圆形电流磁场公式可得外圆和内圆产生的磁感应强度B1 和B2 分别为
?I??USUSB1?01?0??02
2r12r12?r1?14?r1?1?I?USB2?02?02
2r24?r2?2因为圆心处的磁感强度为零，故B1与B2 方向相反、大小相等，即B1 =B2，则由上面两式可
得
-6
?0US?0US?4?r12?14?r22?2-6
1r12?1?1r22?2
-6
又知r1 =1/2×200cm=100cm，ρ1 =1.7×10 Ω·cm，ρ2 =2.8×10 Ω·cm，则由上式可得内圆半径为
?1r121.7?10?6?1002r2??cm?78cm ?6?22.8?10由此可得内圆的直径为
d=2r2 =2×78cm=156cm
6-5 电流I=20A，流过半径R2 =0.05m的金属薄圆筒，再从圆筒轴线的细导线流回来，
-3
细导线的半径R1 =1.0×10 m，筒的长度为l =20m。求： ①筒中离轴线0.02m处P点的B值； ②筒外离轴线0.10m处Q点的B值（P、Q点均位于筒的中部）。
I I R2
Q P r P CP CQ Q
r′
I I
习题6-5附图（a） 习题6-5附图（b）
解: ①由于筒长20m，远大于0.02m和0.10m，故可看作成无限长。如附图所示，在垂
直于圆筒轴线的平面上，以0.02m为半径以轴线为圆心过P点作一圆CP ，作为积分回路，由于磁场方向与圆CP 的切线方向相同，故θ =0°，cosθ=1，且由于对称分布，在圆CP 上B值处处相同，应用安培环路定理得
?CPBcos?dl??0?I B·2πr = μ0 I
-7
-1
已知r =0.02m，I=20A，μ0 =4π×10 T·m·A ，则由上式得
?0I4??10?7?20B??T?2?10?4T
2?r2??0.02②同理，以轴为圆心，0.1m为半径，过Q点作一圆CQ ，作为积分闭合回路，由安培环
路定理得
?CQBcos?dl??0?I??0(I轴?I筒)?0
故筒外Q点的B=0。
6-6 一根载有电流I的无限长直导线，在一处分为对称的两路又合而为一，这两路均为半径为R的半圆（见本题附图），求圆心处的磁感应强度。
解: 由图可知，所求圆心O处的磁感应强度为直线电流与圆弧电流产生的磁场B1、B2 的矢量和。先讨论直线电流产生的磁场B1。由于其上的任一电流元Idl与该电流元到O点的矢
?0Idlsin??0，故B1 =0。 24?r再考虑两段半圆弧电流产生的磁场。由于电路的对称性，上下两段电路中电流相等，且I'=I/2。在上圆弧A点取一电流元I'd l。在下圆弧
I′ I′dl 对应的A'点也同样取电流元I'dl（见附图）。由毕奥-A R 萨伐尔定律知，这两小段电流元在圆心O处产生的磁
场大小相等，但方向相反（由右手螺旋法则可判定），O I 因此两段圆弧产生的磁场恰好互相抵消，由于圆弧电
A′ 路的对称性，其他对应的两小段圆弧在O处产生的磁
I′ 感应强度也恰好互相抵消，因此B2 =0。
由上面的讨论可知，圆心处的磁感应强度为零。 习题6-6附图
6-7 如果一个电子在通过空间某一区域时，不发生偏转，能否肯定这个区域中没有磁场? 为什么?
答: 运动电荷在磁场中将要受到一个磁场力的作用，其大小为F=qvBsinθ。可见F除了与q、v、B有关外，还与v和B的夹角θ有关，当电子以顺着或逆着磁场方向通过磁场时，θ=0°或θ=180°，F =0，电子将不受力。所以当电子不偏转时，不能肯定这个区域中没有磁场。
6-8 一均匀磁场的磁感应强度的方向垂直向下，如果有两个电子以大小相等，方向相反的速度沿水平方向同时射入磁场，问这两个电子作何运动? 如果一个是正电子，一个是负电子，它们的运动又如何?
答: 它们将在洛伦兹力的作用下，作圆周运动。由于它们的速度大小相同，方向相反，所受的洛伦兹力相等，方向相反，所以它们圆周运动的半径、周期相等，但一个是逆时针方向运动，另一个是顺时针方向运动。如果一个是正电子，一个是负电子，则两者所受的洛伦
径r在一条直线上，sinα=0，由毕奥-萨伐尔定律知dB?兹力相等，方向相同，它们作同方向、同半径、同周期的圆周运动。
-1
6-9 一个典型的氢离子（质子）在室温下的速度为300m·s ，如果地磁场是1G，那么作用在氢离子上的最大磁场力是多少?
-19-1-4
解: 已知q =1.6×10 C，v =300m·s，B=1G =10 T，由洛伦兹力公式F=qvBsinθ可知，在q、v、B一定的情况下，当θ= π/2时，F最大，这时离子受到的最大磁场力为
Fmax = qvB =1.6×10-19×300×10-4 N=4.8×10-21 N
6-10 彼此相距10cm的三根平行长直导线，各通有10A同方向的电流，试求各导线上每1cm上所受的作用力的大小和方向。
解: 彼此相距10cm的A、C、D三根平行导线不在一个平面内，其水平俯视投影图为边长0.1m的等边三角形，如本题附图所示。各导线的电流I=10A，且方向相同，假设电流方向指向纸里（即三导线均垂直于纸面）。
先来讨论导线A所受的力和方向。长直载流导线产生的磁感应线是以导线为中心的一些同心圆，C导线在A导线处产生的磁感应强度B1 ，应垂直于CA边，D导线在A处产生的磁感应强度B2 ，应垂直于DA边。根据长直电流磁场公式，B1 和B2 大小相等，其数值均为
?0I4??10?7?10B1?B2??T?2?10?5T
2?a2??0.1由附图等边三角形的几何关系可知，B1 和B2 的夹角α =60°，其合磁场B的方向平行于底
边CD，大小为
2B?B12?B2?2B1B2cos??B11?1?2cos??2?10?52?2cos600T?23?10?5T
导线A所受的力，用安培力公式（F=IBLsinθ） 计算，因为合磁感应强度与A导线垂直，θ=π/2， 所以A导线1cm（0.01m）长度上所受的力为
B2 A 60° A B1 B F1 =BIL=23×10-5×10×0.01N≈3.46×10-6 N
如附图所示，F1 的方向指向三角形的重心。同理，可0.1m 0.1m F1 求得C、D导线所受力的大小等于F1，方向也是指向重
F2 F3 心。如果三条导线中，有一条导线的电流方向与另外
两条导线电流方向相反，结果又是怎样?请读者自行分
C D 0.1m 析。
习题6-10附图
6-11 电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度与哪些因素有关? 其方向如何确定?
?Idlsin?答: 根据毕奥-萨伐尔定律dB?0可知，电流元Idl在空间某点产生的磁感应
4?r2强度dB与Idl成正比，与dl和r之间小于180°的夹角α的正弦成正比，与Idl到该点
的距离r平方成反比。
其方向由右手螺旋法则确定，拇指与四指垂直，四指从Idl经小于180°的角转向r时，则伸直拇指所指的方向即代表dB的方向。
-3
6-12 在利用磁场聚焦中，电子在B=2×10 T的磁场中沿半径为2cm的螺旋线运动，
螺距为5cm，求电子的速度。
-3 -2-31-19
解: 已知B=2×10T，h=5cm=5×10 m，m=9.1×10 kg，q =1.6×10 C，根据磁场聚焦的螺距公式h=2πmvcosθ/(qB) 可得
vcosθ=qBh/(2πm)=(1.6×10-19×2×10-3×5×10-2)/( 2×3.14×9.1×10-31) m·s-1
6-1
≈2.8×10 m·s
6-1
在磁场聚焦中，θ一般都比较小，vcosθ≈v，即电子的速度v≈2.8×10 m·s 。
7-1
6-13 有一均匀磁场，B=200G，方向垂直于纸面向里，电子的速度为10 m·s，方向平行纸面向上，如果要保持电子作匀速直线运动，应加多大的电场，其指向什么方向?
解: 由题意可知，电子将受到一个向右的洛伦兹力作用，要想让电子作匀速直线运动（其运动方向与电流方向相反），可加一向右的电场，使之对电子产生一个方向向左的电场力F2 =Eq，其大小等于向右的洛伦兹力F1 =qvB，即
Eq=qvB 已知B=200G = 2×10 T，v=10 m·s，由上式可得电场强度为
E=vB=107×2×10-2 N·C-1 =2×105 N·C-1
6-14 把厚度为1.0mm的铜片放于B=1.5T的磁场中，磁场垂直通过铜片，如果铜片载
28-3
有200A的电流，已知铜的电子密度n=8.4×10 m，求： ①铜片上下两侧的霍尔电势差； ②铜片的霍尔系数。
-3
解: ①已知d=1mm=10 m，B=1.5T，I=200A，根据霍尔电势差公式得
U=kIB/d=(7.44×10-11×200×1.5)/10-3 V=2.23×10-5 V=22.3 μV
可见，铜的霍尔电势差很小，主要是因为铜的电子数密度大，导致霍尔系数很小。
-19 28-3
②已知电子的电量q =1.6×10C，铜的电子数密度n =8.4×10 m，代入霍尔系数公式得
28-193-1-113-1
k=1/(nq)= 1/(8.4×10×1.6×10) m·C =7.44×10 m·C
6-15 有三种不同材料的导电薄片，它们的载流子浓度之比为1∶2∶3，厚度之比为1∶2∶3，当通过它们的电流相同，垂直于它们的磁场B也相同时，求它们的霍尔电势差之比。
解: 根据霍尔电势差公式U?1?IB，可得三种材料的霍尔电势差之比为
nqd-2
7
-1
U1:U2:U3?I1B1I2B2I3B3 ::n1qd1n2qd2n3qd3已知I1 =I2 =I3，B1 =B2 =B3，n1∶n2∶n3 =1∶2∶3，d1∶d2∶d3 =1∶2∶3，代入上式得
U1∶U2∶U3 =1∶1∶1
94
6-16 把直径为0.5cm的血管放在电磁流量计的磁极N、S之间，B=300G，测得感应电
-5
压为1.5×10 V，求: ①血管中血流的平均速度; ②血流以平均速度流动时的血流量。
-3-5-2
解: ①已知D =0.5cm= 5×10 m，U =1.5×10 V，B =300G=3×10 T，代入电磁流量法的血流平均速度公式得
U1.5?10?5v??m?s?1?0.1m?s?1 ?3?2DB5?10?3?10
医用物理学陈仲本第六章课后习题答案
