新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.1命题与量词1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定应用案巩
固提升新人教B版必修第一册11
[A 基础达标]
1．下列命题中全称量词命题的个数为( ) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行；
③存在一个菱形它的四条边不相等． A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选C.①②是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C. 2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( ) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
解析：选C.命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”． 3．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是( ) A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆 B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆 C．所有四边形的四个顶点共圆 D．所有四边形的四个顶点都不共圆
解析：选A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”，故选A.
4．下列结论中正确的是( )
A．?n∈N，2n＋5n＋2能被2整除是真命题 B．?n∈N，2n＋5n＋2不能被2整除是真命题 C．?n∈N，2n＋5n＋2不能被2整除是真命题 D．?n∈N，2n＋5n＋2能被2整除是假命题
解析：选C.当n＝1时，2n＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n＋5n＋2能被2整除，所以A，B，D错误，C项正确．故选C.
- 1 -
2
2
*
2
*
2
*
2
*
2
5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( ) A．?x∈Q，有x∈P C．?x?Q，使得x∈P
B．?x?Q，有x?P D．?x∈P，使得x?Q
解析：选B.因为P∩Q＝P，所以P?Q，所以A，C，D错误，B正确．
6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)＞0”用“?”写成存在量词命题为________________________________________________________________________．
解析：存在量词命题“存在集合M中的一个元素x，使s(x)成立”可用符号简记为“?x∈M，s(x)”．
答案：?x<0，(1＋x)(1－9x)＞0
7．命题“至少有一个正实数x满足方程x＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．
解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 答案：所有正实数x都不满足方程x＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 8．下列命题：
①存在x<0，x－2x－3＝0； ②对于一切实数x<0，都有|x|>x； ③?x∈R，x＝x；
④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N，an≠bm. 其中，所有真命题的序号为________． 解析：因为x－2x－3＝0的根为x＝－1或3， 所以存在x＝－1<0，使x－2x－3＝0，故①为真命题； ②显然为真命题；
③x＝|x|，故③为假命题；
④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题． 答案：①②
9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)三角形的内角和为180°； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)存在一个四边形不是平行四边形． 解：(1)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°. (2)是全称量词命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下． (3)是存在量词命题且为真命题．
- 1 -
2
2
2
*
22
2
2
2
2
命题的否定：所有的四边形都是平行四边形． 10．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)正方形都是菱形； (2)?x∈R，使4x－3>x； (3)?x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集． 解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定：?x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“?x∈R，有4x－3≤x”是假命题．
(3)命题的否定：?x∈R，使x＋1≠2x，因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“?x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．
(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
[B 能力提升]
11．下列命题为真命题的是( ) A．对每一个无理数x，x也是无理数 B．存在一个实数x，使x＋2x＋4＝0 C．有些整数只有两个正因数 D．所有的质数都是奇数
解析：选C.若x＝2，则x＝2是有理数，故A错误；B，因为x＋2x＋4＝(x＋1)＋3≥3，所以存在一个实数x，使x＋2x＋4＝0错误；因为2＝1×2，所以有些整数只有两个正因数，故C正确；2是质数，但2不是奇数，故D错误．故选C.
12．下列命题中正确的是________(填序号)． ①?x∈R，x≤0；
②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是质数； ③?x∈{x|x是无理数}，x是无理数．
解析：①?x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数 ，它既不是合数也不是质数，正确，例如1；③?x∈{x|x是无理数}，x是无理数，正确，例如x＝π.
综上可得，①②③都正确． 答案：①②③
13．银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“?x∈R，x＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“?x∈R，x＋2x＋m>0”是真命题，求m的范围．你认为，两位同学题中m的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一个)
解析：因为命题“?x∈R，x＋2x＋m≤0”的否定是“?x∈R，x＋2x＋m>0”，而命题
- 1 -
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
“?x∈R，x＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“?x∈R，x＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的范围是一致的．
答案：是
14．已知命题p：?x>0，x＋a－1＝0为假命题，求实数a的取值范围． 解：因为命题p：?x>0，x＋a－1＝0为假命题， 所以?p：?x>0，x＋a－1≠0是真命题， 即x≠1－a，
所以1－a≤0，即a≥1. 所以a的取值范围为a≥1.
[C 拓展探究]
（a＋b）a＋b15．命题“＝”是全称量词命题吗？如果是全称量词命题，请给予证明；
|1＋b|1＋b如果不是全称量词命题，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题．
解：不是全称量词命题，增加条件“对?a，b∈R，且满足1＋b>0，a＋b≥0”，得到命题是全称量词命题．
2
22
- 1 -
新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2.1命题与量词1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定
