【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 13．（5分）（2010?湖北）一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9．则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为 0.9477 （用数字作答）． 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率． 【专题】概率与统计．
【分析】由题意知，本题符合独立重复试验条件，分情况讨论：若共有3人被治愈，若共有4人被治愈，分别代入独立重复试验公式得到结果．最后求和．
【解答】解：由题意知本题分情况讨论：若共有3人被治愈，则P1=C43（0.9）3×（1﹣0.9）=0.2916；
若共有4人被治愈，则P2=（0.9）4=0.6561， ∴至少有3人被治愈概率P=P1+P2=0.9477． 故答案为：0.9477．
【点评】判断是否为独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果同其他各次试验的结果无关，重复是指试验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次，但要注意重复事件发生的概率相互之间没有影响． 14．（5分）（2010?湖北）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 4 cm．
【考点】组合几何体的面积、体积问题． 【专题】计算题；综合题；压轴题．
【分析】设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．
【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×
解得r=4． 故答案为：4
【点评】本题考查几何体的体积，考查学生空间想象能力，是基础题．
，
15．（5分）（2010?湖北）已知椭圆C：的两焦点为F1，F2，点P（x0，y0）满足
，则|PF1|+PF2|的取值范围为 [2，2） ，直线与椭圆C
的公共点个数 0 ．
【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】当P在原点处时（|PF1|+|PF2|）min=2，当P在椭圆顶点处时，取到（|PF1|+|PF2|）
max=，故范围为．因为（x0，y0）在椭圆的内部，则直线
上的点（x，y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点．
【解答】解：依题意知，点P在椭圆内部且与原点不重合．画出图形，由椭圆方程得c=1， 由数形结合可得，当P点在线段F1F2上除原点时，（|PF1|+|PF2|）min=2， 当P在椭圆上时，（|PF1|+|PF2|）max=2a=2， 故|PF1|+PF2|的取值范围为[2因为（x0，y0）在椭圆则直线
）． 的内部，
上的点（x，y）均在椭圆外，
故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个． 答案：[2，），0．
【点评】本题考查椭圆的性质及其应用，画出图形，数形结合事半功倍．
三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）（2010?湖北）已经函数
（Ⅰ）函数f（x）的图象可由函数g（x）的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的最小值，并求使用h（x）取得最小值的x的集合． 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题；综合题．
【分析】（Ⅰ）先利用诱导公式把函数f（x）中余弦函数转化成正弦函数，进而利用图象平移的法则，求得答案．
（Ⅱ）把函数f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中，利用两角和公式化简整理，进而根据余弦函数的性质求得函数的最小值以及此时x的集合． 【解答】解：（Ⅰ）
所以要得到f（x）的图象只需要把g（x）的图象向左平移向上平移个单位长度即可． （Ⅱ）当2x+
=2kπ+z（k∈Z）时，h（x）取得最小值
． ．
． ，
个单位长度，再将所得的图象
h（x）取得最小值时，对应的x的集合为
【点评】本题主要考查了三角函数中恒等式变换应用，两角和公式，图象的平移等知识点．三角函数中公式多且复杂，平时应注意多积累． 17．（12分）（2010?湖北）为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）
（Ⅰ）在表格中填写相应的频率； 分组 频率 [1.00，1.05） [1.05，1.10） [1.10，1.15） [1.15，1.20） [1.20，1.25） [1.25，1.30]
（Ⅱ）估计数据落在（1.15，1.30）中的概率为多少；
（Ⅲ）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．
【考点】频率分布直方图． 【专题】计算题．
【分析】（1）根据频率分布直方图可知，矩形的高为，然后利用“频率=组距×”求
出每组的频率，即可填全表格；
（2）先求出数据落在[1.15，1.30）中的频率，然后利用样本数据落在[1.15，1.30）中的频率估计总体的概率；
（3）根据该水库中鱼的总条数=
进行求解即可．
，故可得下表：
【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，频率=组距×
分组 频率 [1.00，1.05） 0.05 [1.05，1.10） 0.20 [1.10，1.15） 0.28 [1.15，1.20） 0.30 [1.20，1.25） 0.15 [1.25，1.30] 0.02
（Ⅱ）0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在[1.15，1.30）中的概率约为0.47． （Ⅲ）
，所以水库中鱼的总条数约为2000条．
【点评】本题考查频率分布直方图，以及利用样本估计总体等有关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题． 18．（12分）（2010?湖北）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（Ⅰ）设为P为AC的中点，Q为AB上一点，使PQ⊥OA，并计算（Ⅱ）求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．
的值；
【考点】平面与平面之间的位置关系． 【专题】计算题．
【分析】解法一：（1）要计算的值，我们可在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连
接NC．则根据已知条件结合平面几何中三角形的性质我们易得NB=ON=AQ，则易求出的值．
（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我们可连接PN，PO，根据三垂线定理，易得∠OPN为二面角O﹣AC﹣B的平面角，然后解三角形OPN得到二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值．
解法二：取O为坐标原点，分别以OA，OC所在的直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，我们易根据已知给出四面体中各点的坐标，利用向量法进行求解，（1）由A、Q、B三点共线，我们可设
λ的方程，解方程即可得到λ的值，即
的值；
，然后根据已知条件，构造关于
（2）要求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值，我们可以分别求出平面OAC及平面ABC的法向量，然后根据求二面角O﹣AC﹣B的平面角的余弦值等于两个法向量夹角余弦的绝对值进行求解． 【解答】解：法一：
（Ⅰ）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC． 又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC ∵NC?平面ONC， ∴OA⊥NC．
取Q为AN的中点，则PQ∥NC． ∴PQ⊥OA
在等腰△AOB中，∠AOB=120°， ∴∠OAB=∠OBA=30°
在Rt△AON中，∠OAN=30°， ∴
在△ONB中，∠NOB=120°﹣90°=30°=∠NBO， ∴NB=ON=AQ． ∴
解：（Ⅱ）连接PN，PO，
由OC⊥OA，OC⊥OB知：OC⊥平面OAB． 又ON?平面OAB， ∴OC⊥ON
又由ON⊥OA，ON⊥平面AOC． ∴OP是NP在平面AOC内的射影． 在等腰Rt△COA中，P为AC的中点， ∴AC⊥OP
根据三垂线定理，知： ∴AC⊥NP
湖北省高考数学试卷文科答案与解析
