参考答案
一、选择题
1 C
2 A
3 B
4 B
5 D
6 C
7 B
8 A
9．BD 10．CD 11．ABD 12．ABC
π10 14． 15． 26 16． 20π 32????????17．解：（1）AB(?2,3)，AC=(a?1,b?1)，（2分）
????????因为A，B，C三点共线，所以AB向量与AC也共线，所以?2(b?1)=3(a?1)，
13．
0． （4分） 所以a与b满足的关系式为3a+2b?5=????????????????????????（6分） （2）由AC=2AB，可得AC=2AB，或AC=?2AB，
????????当AC=2AB时，有(a?1,b?1)=?3，b=7； 2(?2,3)?a=????????当AC=?2AB时，有(a?1,b?1)=?2(?2,3)?a=5，b=?5；
所以点C的坐标为(?3,7)或(5,?5)．（10分）
AMB18．解：(1)连BM，在△ABM中，由余弦定理可得， BM=°AM2+AB2?2AM?AB?cos30=2，
所以∠ABM=30°，所以∠MBN=90°，所以MN=BM2+BN2=25.（6分） N（2）S?ABN=113AB?BN?sinB=×23×4?=6， 222S?ABM=S?MBN111AB?AM?sinA=×23×2?=22211=MB?BN=×2×4=4， 223，
（12分） 所以△AMN的面积为S?ABN?S?ABM?S?MBN=2?3．
ba(a+c)及余弦定理 b=a+c?2ac?cosB可得 19．解：（1）由题意=2222a=c?2acosB，（2 分）
由正弦定理=asinAcb， =sinCsinB可得sinA=sinC?2sinAcosB=sin(A+B)?2sinAcosB=sin(B?A)，
1
ππ（6分） ?A,B∈(0,π)，∴B=2A，∴C=π?3A，∴A∈(,)．
64（2）由（1）可得
sinB+sin3A2sinAcosA+3sinA?4sin3A15b=+c==4(cosA+)2?，（9分）
sinAsinA44ππ12131（11分） ?A∈(,)，∴cosA+∈(+,+)，
6442424所以b+c∈(1+2,2+3)．（12分）
20．解：（1）证明:在平面PBA内过A作AE⊥PB于E，（2分）
因为平面PBA⊥平面PBD，又平面PBA?平面PBD=PB， 所以AE⊥平面PBD，
（4 分） ?BD?平面PBD，所以AE⊥BD，过B,C分别作BM、CN⊥AD于M、N，
PEAMND90，即AB⊥BD，易得∠DBA=（5分）
CB?AB?AE=A，且AB、AE?平面PBA，所以BD⊥平面PBA，?PA?平面PBA，
所以BD⊥PA，因为PA⊥AD，AD?BD=D， （7 分） PA⊥平面ABCD．
（2）二面角P?BD?C的平面角与二面角P?BD?A的平面角互补， 由（1）可得，∠PBA为二面角P?BD?A的平面角，（9分） 在RT△AED中，∠ADE为AD与平面PBD所成的角，由其正弦值为°2， 4可得AE=222，因为AB=1，所以BE=，所以cos∠PBA=，（11分）
2222．（12分） 2所以二面角P?BD?C的余弦值为?21．解:(1)证明：?AD//BC，所以AD//平面PBC，（2 分）
（4 分） 因为平面α与平面PBC的交线为l，且AD?α，所以AD//l，
2
因为l?平面PAD，所以l//平面PAD．（6 分） （2）设l与PC交于F，易得F为PC的中点，
连DF，DE，DB，EC， 设四棱锥P?ABCD的体积为V，
PFDEBCV，（8 分） 所以V=V=E?ABDE?BDC4=V=2VD?EFC，∴VD?EFC=又V，（10 分） E?BDCD?BECV8A所以平面α截四棱锥P?ABCD所得的下面部分几何体的体积为
VVV5V3V， ++=，所以上面部分的体积为
44888（12分） 所以平面α截四棱锥P?ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为3:5．
????22．（1）A=(cosα,sinα)，（2 分） =CA(cosα+2,sinα) ，
AC2+3（2）（法一）设∠ACO=， β，由余弦定理可得，AC=5+4cosα，cosβ=4ACsinα， 由正弦定理可得，sinβ=ACπ22所以y2sin(β)2(cosβsinβ)cosα+sinα+2， ACAC=?+=?+=B422π22=?2?2cosα?sinα， xB2AC?cos(+β)=2AC?(cosβ?sinβ)=4222（10分） B点的坐标为(cosα?sinα,cosα+sinα+2)．（法二）假设此直角坐标系为复平面直角坐标系，
????????所以CA对应的复数为CA=cosα+2+isinα，
????????ππ所以CB=CA?2(cos+isin)=cosα?sinα+2+(cosα+sinα+2)i，
44所以B的坐标为(cosα?sinα,cosα+sinα+2)． （3）S?BCO=1×2×(cosα+sinα+2)=2π2sin(α+)+2，
4所以，当α=
π时，△BCO的面积取最大值，且为2+2．（12分） 43
2021惠州深圳惠州一中、汕头金山中学、深圳实验学校、珠海一中等四校联考高一数学期中考试试题参考答案
