第一章 集合与函数的概念(一)

第一章 集合与函数的概念第一节 集合

（一） 集合的概念：

集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。 （二） 集合的表示方法：

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在打括号内表示集合的方法叫做列举法

2、描述法：一般形式为{x丨p（x）}，竖线前面的x表示集合中元素的一般形式，叫代表元素，竖线后的p（x）表示集合元素x的公共属性。在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及左边的部分，例如由所有圆组成的集合，可表示为{圆} 3、图示法（也叫 Venn图法）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合?? 说明：（1）由列举法可以看清集合的元素，由描述法可以看清集合的特征 （2）列举法和描述法中的“{ }”都有“全体”“集合”的含义，因而，{全体整数}中的“全体”二字重复，应为{整数} （三） 元素与集合的关系

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 （四）集合的三要素

1、确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合。例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。

2、互异性：也就是说，在一个集合中不会重复出现相同的元素。例如集合{a,b,b,c,d,d}的写法是错误的，应为{a,b,c,d}

3、无序性：也就是说集合中的元素是没有顺序的，可以任意列出。例如：{1，3，2}，{1，2，3}，{3，1，2}等 （五）集合的分类:

1、并集： 以属于A或属于B的元素为元素的集合成为A与B的并（集），记作 “A∪B”

2、交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合成为A与B的交（集），记作“A ∩B”。

3、补集： 对于一个集合A，由全集U中不属于A的所有元素组成的集合称为A相对于U的补集，记作“CuA.”

注:空集属于任何集合,但它不属于任何元素. （六）“且”和“或”两个字的含义

1、“且”的含义：通常理解为“既”、“同时”，例如A∩B，即由A与B的公共元素组成

2、“或”的三层含义：例如A∪B，（1）属于A的，不属于B的：（2）属于B的，不属于A的：（3）既属于A又属于B的

（七）子集与真子集

1、子集：对于两个非空集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说 A ? B(读作A包含于B)，或 B ? A(读作B包含A)，称集合A是集合B的子集。

规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 空集的子集是它本身

2、真子集：如果A ? B，而集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。 任何一个集合是它本身的子集.

（八）怎样求含有n个元素的集合的子集、真子集、非空子集与非空真子集的个数？

1、子集个数：2的n次方个

2、真子集个数：2的n次方减1个 3、非空子集个数：2的n次方减1个 4、非空真子集：2的n次方减2个 （九）德摩根律

1.Cu (A∩B)=（CuA）U （CuB） 2.Cu(A∪B)=（CuA）∩（CuB）

第二节 函数及其表示

一、函数的表示方法

1、列表法：利用表格来表示两个变量的函数关系的方法

列表法有两个意义，第一，在已知函数部分性质的情况下，通过表中的数据比较函数的增减性；第二，通过数据进行函数的拟和或者求函数，一般来说，列表只能看到函数的部分情况，而且不能判断函数的性质，当然，在知道函数是什么函数的情况下，列表可以助于求出函数解析式或者是做出函数的图像，列表法是对函数本身损失最大的，因为它丢失了大量的信息，但既然给出的数据列表法也是十分准确的；????

2、图像法：利用图像来表示两个变量的函数关系的方法

图像法是最直观的，但是也是相对最不准确的，对于连续的函数，可以通过图像看出增减性、零点、顶点、对称轴的大概位置（就是坐标的范围），但是不能求出其具体位置。所有函数都有图像，但并不是所有图像都有函数，比如圆的方程，因为函数要满足一一对应性。在解决线性问题的时候，准确的函数图像可能可以直接让你看出答案。

3、解析法：用数学等式表示两个变量的函数关系的方法

并不是所有函数都有解析式，对于类似气温随时间变化的函数是没有解析式的，解析式是为了方便进行数学研究，当然，我们可以通过数学手段对一些东西进行简单的函数拟和，从微积分的角度上来看，任何一小段（小到趋于0）的连续图像都是线性的????

二、函数的概念

1、函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量。x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）丨x∈A}叫做函数的值域。

2、映射的定义：一般地，设A，B是非空集合，如果按照某个确定的对应关系f，对于集合A中任意一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B ，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B

注意：只有“多对一”或“一对一”的对应关系才是映射 3、函数与映射的关系与区别：

相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性;

(3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性；

区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 注意：有时函数和映射的对应法则可以用含有两个变量的等式来表示，在函数中这个式子叫解析式

4、两个函数相同的判断：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时。这两个函数才是同一个函数 三、函数的三要素

1、定义域：自变量的取值范围

2、对应关系：自变量与因变量的对应关系式 3、值域：因变量的取值范围

四、区间：区间是数集的一种表示形式,因此，区间的表示形式与集合的表示形式相同。具体如下: 1、有限区间

(1) 开区间 例如:{x|a

(3) 半开半闭区间 例如:{x|a

有限区间在数学几何上的意义表现为：一条有限长度的线段。 注：这里假设a

2、无限区间 例如: { x | a≤x } = [a, +∞ ) { x | a

无限区间在数学几何上的意义表现为：一条直线。 注：这里假设a

对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 六、函数定义域问题

1、抽象函数的定义域（利用整体思想理解） （1）已知函数的定义域，求复合函数的定义域

举例：已知f（x）的定义域为[a,b]，求f（g（x））的定义域 方法：令a≤g（x）≤b，解得x的范围即为所求 （2）已知复合函数的定义域，求函数的定义域 举例：已知f（g（x））的定义域为[a,b]，求f（x）的定义域

方法：由f（g（x））中a≤ x ≤b，求得g（x）的范围即f（x）中x的范围 理解方法：可以通过换元思想来理解，设g（x）=t，t相当于f（x）中的x （3）与定义域有关的参数范围问题 考查类型：定义域为R，求参数范围

思想：分类讨论，特别是二次项系数为零的讨论，易被忽略

2、具体函数的定义域（就是使解析式有意义的自变量的取值范围） （1）如果解析式是整式或奇次根式，则定义域为R

（2）如果解析式是分式，则定义域是使分母不为零的实数的集合

（3）如果解析式是偶次根式，则定义域是使根号内的式子大于等于零的实数的集合

（4）对数函数的真数必须大于零；对数函数和指数函数的底数必须大于零且不等于一

（5）正切函数y=tanx的定义域是{x丨x≠二分之π+kπ，k∈z}

（6）如果解析式是由几个部分的数学式子构成的，则定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即求各部分集合的交集）

（7）实际问题中函数的定义域是使变量都有意义且符合实际的实数集合 七、函数的解析式问题

1、已知函数f（x）的解析式，求复合函数f（g（x））的解析式 方法：代入法，将g（x）代替f（x）中的x 2、已知复合函数f（g（x））的解析式，求函数f（x）的解析式 方法;(1)配凑法：在解析式中凑g（x）这个整体 （2）换元法，令g（x）=t，解出x，代入解析式 例如：已知f（1/x）=x/1-x，求f(x) 解：令1/x=t,x=1/t??

x/(1-x)=1/t/(1-1/t)=1/(t-1)?? f(t)=1/(t-1)?? f(x)=1/(x-1)????

（3）待定系数法：

用待定系数法确定一次函数y=kx+b的解析式的一般步骤是：????

一代：将从已知条件中得到的x、y的对应值代入y=kx+b中，建立关于k、b的二元一次方程组；????

二解：解关于k、b的二元一次方程组；????

三代：将所求出的k、b的值代入y=kx+b中；???? 四答：得出一次函数的解析式。 用待定系数法求二次函数的解析式 +bx+c 设二次函数的解析式为：y=ax2

将图像上的三点坐标代入解析式，产生以a、b、c为未知数的三元一次方程组。

解方程组求得系数a、b、c。 最后得到二次函数的解析式。

（4）消去法：通过构造方程组求解