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专题五 解析几何
满分示范课
【典例】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y＝1
2→→
上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足NP＝2 NM.
(1)求点P的轨迹方程；
→→
(2)设点Q在直线x＝－3上，且OP·PQ＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
[规范解答] (1)设P(x，y)，M(x0，y0)， →→
则N(x0，0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)，1分 →→
2
由NP＝2 NM得x0＝x，y0＝y，3分
2因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，
22因此点P的轨迹方程为x＋y＝2.5分
(2)由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)， →→
则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)， →→
OQ·PF＝3＋3m－tn，7分 →
→
OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)， →→
22
由OP·PQ＝1，得－3m－m＋tn－n＝1，9分 又由(1)知m＋n＝2，故3＋3m－tn＝0. →→→→
所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，11分
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.12分
高考状元满分心得
1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求
1
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x2
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x2y2
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出－3m－m＋tn－n＝1就得分．
2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝
2
y，没有则不得分；第(2)问一定2
→→→→
要写出OQ·PF＝0，即OQ⊥PF，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．
→→
[解题程序] 第一步：设出点的坐标，表示向量NP，NM； →→
第二步：由NP＝2 NM，确定点P，N坐标等量关系； 第三步：求点P的轨迹方程x＋y＝2； 第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系； →→
第五步：由OQ·PF＝0，证明OQ⊥PF；
第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论．
2
2
x2y2
[跟踪训练](2018·江南名校联考)设椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为A(－
abπ3
1，0)，B(1，0)，C为椭圆M上的点，且∠ACB＝，S△ABC＝. 33
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设过椭圆M右焦点且斜率为k的动直线与椭圆M相交于E，F两点，探究在x轴上是→→
否存在定点D，使得DE·DF为定值？若存在，试求出定值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得AB＝CA＋CB－2CA·CB·cos ∠ACB＝(CA＋CB)－3CA·CB＝4.
133
又S△ABC＝CA·CB·sin C＝CA·CB＝，
2434
所以CA·CB＝，代入上式得CA＋CB＝22.
3所以椭圆长轴2a＝22，焦距2c＝AB＝2. 所以椭圆M的标准方程为＋y＝1.
2
(2)设直线方程y＝k(x－1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，
2
2
2
2
x2
2
x??＋y2＝1，联立?2
??y＝k（x－1），
2
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得(1＋2k2
)x2
－4k2
x＋2k2
－2＝0，Δ＝8k2
＋8＞0， 2
2
所以x4k2k－2
1＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2. →→
假设x轴上存在定点D(x0，0)使得DE·DF为定值． →→
所以DE·DF＝(x1－x0，y1)·(x2－x0，y2) ＝x2
1x2－x0(x1＋x2)＋x0＋y1y2
＝x2
2
1x2－x0(x1＋x2)＋x0＋k(x1－1)(x2－1) ＝(1＋k2
)x2
2
2
1x2－(x0＋k)·(x1＋x2)＋x0＋k 2
2
2
＝（2x0－4x0＋1）k＋（x0－2）1＋2k2 →→→→
要使DE·DF为定值，则DE·DF的值与k无关， 所以2x2＋1＝2(x2
50－4x00－2)，解得x0＝4，
→→
此时DE·DF＝－7516为定值，定点为??4，0??
.
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[精选]2019-2020学年高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何满分示范课 理--精选文档
