单元质量测试(七)
时间：120分钟
满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．直线3x＋3y－1＝0的倾斜角α的大小为( ) A．30° C．120° 答案 C
解析 ∵直线的斜率k＝－
33
＝－3，∴α＝120°.故选C.
B．60° D．150°
2．“a＝2”是“直线y＝－ax＋2与y＝x－1垂直”的( )
4A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A
2
解析 由a＝2得两直线斜率满足(－2)×＝－1，即两直线垂直；由两直线垂直得(－
4
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
aaa)×＝－1，解得a＝±2.故选A.
4
y2x2
3．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为( )
abA．y＝±
2x 2
B．y＝±2x 1
D．y＝±x
2
C．y＝±2x 答案 A
解析 由题意得，双曲线的离心率e＝＝3，故＝2，故双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±
cabaab2x. 2
2
2
4．(2020·烟台高三期末)从坐标原点O向圆x＋y－12x＋27＝0作两条切线，切点分别为A，B，则线段AB的长为( )
3A． 233C．
2
B．3
D．33
答案 D
解析 根据题意，圆x＋y－12x＋27＝0，即(x－6)＋y＝9，圆心为(6,0)，半径r＝3，如图，设N(6,0)，从坐标原点O向圆x＋y－12x＋27＝0作两条切线，则AB与x轴垂直，设
2
2
2
2
2
2
AB与x轴的交点为M，由|ON|＝6，|NA|＝3，得|OA|＝36－9＝33，由△OMA∽△OAN，得
3×3333|AM|＝＝，则|AB|＝2|AM|＝33.故选D.
62
5．已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点，离心率为3.若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为3，则C的方程为( )
A．－＝1 48C．x－＝1
2答案 C
1c3
解析 显然OM为Rt△MF1F2的中线，则|OM|＝|F1F2|＝c＝3.又e＝＝＝3，得a2aa＝1.进而b＝c－a＝2.故C的方程为x－＝1，故选C.
2
2
2
2
2
2
x2y2
y2
B．－＝1
48D．y－＝1
2
2
y2x2
x2
y2
x2y23a6．设F1，F2是椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1
ab2
是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
1
A． 23C． 4答案 C
解析 令c＝a－b.如图，据题意，|F2P|＝|F1F2|，∠F1PF2＝30°，∴∠F1F2P＝120°，
2
2
2B． 34D． 5
c?3a?∴∠PF2x＝60°，∴|F2P|＝2?－c?＝3a－2c.∵|F1F2|＝2c，∴3a－2c＝2c，∴3a＝4c，∴＝a?2?
33
，即椭圆的离心率为.故选C. 44
7．已知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y＝－12x的准线交于
2
A，B两点，|AB|＝25，则C的实轴长为( )
A．2 C．22 答案 D
解析 因为抛物线y＝－12x的准线为x＝3，而等轴双曲线C的焦点在x轴上，所以A，
2
B．2 D．4
B两点关于x轴对称，且|AB|＝25，所以点(3，±5)在双曲线上，代入双曲线的方程x2－y2＝a2中得9－5＝a2＝4，所以a＝2，即2a＝4，故双曲线C的实轴长为4.故选D.
8．已知抛物线y＝4x与圆F：x＋y－2x＝0，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是( )
A．等于1 C．最小值为4 答案 A
解析 圆F的方程为(x－1)＋y＝1.设直线l的方程为x＝my＋1，代入y＝4x，得y－4my－4＝0，y1y2＝－4.设点A(x1，y1)，D(x2，y2)．则|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，所以|AB|12
＝|AF|－|BF|＝x1，|CD|＝|DF|－|CF|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝(y1y2)＝1.故选A.
16
2
2
2
2
2
2
2
B．等于16 D．最大值为4
x2y2
9．(2019·开封一模)已知P是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)上一点，且在x轴上方，F1，
abF2分别是双曲线的左、右焦点，|F1F2|＝12，直线PF2的斜率为－43，△PF1F2的面积为243，
则双曲线的离心率为( )
A．3 C．3 答案 B
B．2 D．2
x2y2
解析 P是双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)上一点，且在x轴上方，F1，F2分别是双曲线的
ab1
左、右焦点，由|F1F2|＝12，得c＝6，由△PF1F2的面积为243，可得P的纵坐标y满足×12×y2＝243，y＝43.直线PF2的斜率为－43，所以P的横坐标x满足
yx－6
＝－43，解得x＝5，
得P(5，43)，|PF1|＝ 5＋6
2
＋43－0
2
＝13，|PF2|＝ 5－6
2
＋43－0
2
＝7，所以2a＝13－7，a＝3，所以双曲线的离心率为e＝＝2.故选B.
cax2y2
10．(2019·唐山模拟)已知F1，F2为双曲线Γ：2－＝1(a＞0)的左、右焦点，P为双
a20
曲线Γ左支上一点，直线PF1与双曲线Γ的一条渐近线平行，PF1⊥PF2，则a＝( )
A．5 C．45 答案 A
解析 如图，记PF2与双曲线的渐近线l的交点为M.与PF1平行的双曲线的渐近线为y＝25
25
x，由PF1⊥PF2，得PF2⊥l，则F2(c,0)到直线l：x－y＝0的距离为d＝
|25
B．2 D．5
ac|
aa?25?22
??＋1?a?
＝
25c2
＝25.而△OMF2为直角三角形，所以|OM|＝|OF2|－|MF2|＝c－20＝a.又OM∥a＋20
222
F1P，O是F1F2的中点，所以|F1P|＝2|OM|＝2a，|PF2|＝2|MF2|＝45.而由双曲线的定义，有
|PF2|－|PF1|＝2a，即45－2a＝2a，所以a＝5.故选A.
x2y2
11．已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆以外，且线段
abPF1与椭圆E交于点M.若|OM|＝|MF1|＝1A． 2C．3－1 答案 C
解析 过M作MH⊥x轴于点H，由|OM|＝|MF1|，知H为OF1的中点，进而得MH为△PF1O133|OP|
的中位线，则M为F1P的中点．从而依题意，有|F1P|＝|OP|，即＝＝sin∠OF1P，
232|F1P|
3
|OP|，则椭圆E的离心率为( ) 3
B．D．
3 23＋1
2
π
则∠OF1P＝.则△MF1O是边长为c的等边三角形．连接MF2(F2为椭圆E的右焦点)，则由|OM|
3＝|OF1|＝|OF2|可知∠F1MF2＝选C.
π2c|F1F2|.故e＝＝＝22a|MF1|＋|MF2|
2c1＋3c＝
21＋3
＝3－1.故
x2y2
12．如图，已知椭圆2＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，
a4N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A．20 C．25 答案 D
解析 解法一：设点H(0，t)，0 B．10 D．45 ??M(－2c，－t)．则有?4ct??a＋4＝1， 2 2 2 c24t2 ＋＝1，a24 2 1b2 消去t得15e＝3，则e＝.又b＝2，则1－e＝2， 5a2 2 2 2 142 即1－＝2，解得a＝5，从而由椭圆的定义可知△F2MN的周长为4a＝45，故选D. 5a解法二：由F1，H是线段MN的三等分点，知H是线段F1N的中点，又O是F1F2的中点， b??b?H?0，b?.又F是线段MH的中点，?则OH∥F2N，从而F2N⊥F1F2，故N?c，?，则M?－2c，－?.??1 2a??a??2a?? 4cb4a－412222 由点M在椭圆上，可得2＋2＝1.又b＝4＝a－c，从而有＋2＝1，解得a2 a4a×4aa＝5，从而由椭圆的定义可知△F2MN的周长为4a＝45，故选D. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．若k∈R，直线y＝kx＋1与圆x＋y－2ax＋a－2a－4＝0恒有交点，则实数a的取值范围是________． 答案 [－1,3] 解析 因为直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则0＋1－2a·0＋a－2a－4≤0且2a＋4>0，解得－1≤a≤3. 2 2 2 2 2 2 2 4 2 22
2021届高考数学一轮复习单元质量测试7(含解析)新人教版B版
