3.1.3 导数的几何意义
学习目标 1.理解导数的几何意义.（重点）
2.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.（重点）
3.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程．（难点，易混点） [知识衔接]1.过点?x0,y0?斜率为k的直线的方程 ； 2.过点?x1,y1?和?x2,y2?的直线的斜率 ； 3.求函数f?x?在x0到x0??x的平均变化率： 4.函数瞬时速度即导数的定义。 [预习新课]
阅读课本83页，初步熟悉下列知识点： 1.函数的平均变化率的几何意义； 2.曲线在某点处的切线的定义； 3.导数的几何意义。
思考1 割线AB的斜率KAB是多少？ 答案 割线AB的斜率为KAB?f?x0??x??f?x0?，从而得到平均变化率的几何意义.
?x（动态演示：割线变切线的过程）
思考2 当点B无限趋近于点A时，割线AB的斜率KAB与切线AD的斜率k有什么关系？ 答案 KAB无限趋近于切线AD的斜率k.
思考3 比较函数的平均变化率与函数的瞬时变化率（导数）的关系？
1
梳理 (1)切线的定义：当B趋近于点A时，割线AB趋近于极限位置，这个极限位置的直线AD称为曲线在点A处的切线．
(2)导数f′(x0)的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线的斜率k， 即k＝Δlim x→0
f?x0＋Δx?－f?x0?
＝f′(x0)．
Δx
(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(1)过曲线上一点的割线有无数条，而过这点的切线确仅有一条．( × ) (2)曲线在点P处的切线和过点P的切线意思相同．( × ) (3)这里对曲线切线的定义与圆的切线的定义并不完全相同．( √ )
题型一 导数几何意义的应用
例1 已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝kAB，则k1，k2，k3之间的大小关系为______________．(请用“>”连接)
考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 k1>k3>k2
解析 由导数的几何意义，可得k1>k2. f?2?－f?1?∵k3＝表示割线AB的斜率，
2－1∴k1>k3>k2.
反思与感悟 导数几何意义的综合应用问题的解题关键还是对函数进行求导，利用题目所提供的如直线的位置关系、斜率取值范围等关系求解相关问题，此处常与函数、方程、不等式等知识相结合．
变式1 若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
2
题型二 求切线方程
命题角度1 曲线在某点处的切线方程
）处的切线的斜率k。例2 求抛物线f?x??x在点（1,1
2考点 切线方程的求解及应用 题点 求在某点的切线方程
思考：曲线在点（1,1）处的切线方程是：
反思与感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
命题角度2 曲线过某点的切线方程
例3 求抛物线y＝x2过点?,6?的切线方程． 考点 切线方程的求解及应用 题点 求过某点的切线方程 解：
思考：还有其他的解决方法吗？
反思与感悟 过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的求法步骤： (1)设切点(x0，y0)．
?5?2?? 3
y1－y0
(2)建立方程f′(x0)＝.
x1－x0
(3)解方程得k＝f′(x0)，x0，y0，从而写出切线方程． 题型三 求切点坐标
?例4 已知抛物线y?2x?1,求抛物线上哪一点处切线的倾斜角为45？
2考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标 解 引申探究
变式1．抛物线上哪一点的切线平行于直线4x?y?2?0？
变式2．抛物线上哪一点的切线垂直于直线x?8y?3?0？
反思与感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0，y0)． (2)求导函数f′(x)． (3)求切线的斜率f′(x0)．
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0. (5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
[归纳总结]（反扣目标，评测达成情况）
1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率， 即k＝Δlim x→0
f?x0＋Δx?－f?x0?
＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
Δx
2．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个常数，不是变量，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值．
4
3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点. []
1．已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为( ) A．4 B．16 C．8 D．2 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 C
解析 f′(2)＝Δlim x→0
f?2＋Δx?－f?2?
Δx
2?2＋Δx?2－8
＝Δlim ＝Δlim (8＋2Δx)＝8，∴k＝8. x→0x→0Δx9
2．曲线y＝f(x)＝在点(3,3)处的切线的倾斜角等于( )
xA．45° B．60° C．135° D．120° 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 C
解析 ∵f′(x)＝Δlim x→011
－x＋Δxx
＝9lim Δx→0Δx＝－9lim Δx→0
19
＝－2，
x?x＋Δx?x
f?x＋Δx?－f?x?
Δx
9
∴y′|x＝3＝－＝－1.
9
又∵直线倾斜角的范围为[0°，180°)， ∴倾斜角为135°.
3．已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则点P的坐标为________． 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标
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高中数学_3.1.3 导数的几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思
