课时分层作业(十九) 椭圆的标准方程
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若曲线＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是( )
1－k1＋kA．k＞1 C．－1＜k＜1 D [∵曲线
＋＝1表示椭圆， 1－k1＋kB．k＜－1
D．－1＜k＜0或0＜k＜1
x2y2
x2y2
1－k＞0，??
∴?1＋k＞0，??1－k≠1＋k，
解得－1＜k＜1，且k≠0．]
2．焦点坐标为(0,3)，(0，－3)，长轴长为10，则椭圆的标准方程为( ) A．＋＝1 10091C．＋＝1 2516
x2y2
B．
＋＝1 10091
y2x2
y2x2
D．＋＝1 2516
2
2
x2y2
C [由题意a＝5，c＝3，且焦点在y轴上，∴b＝5－3＝4， ∴椭圆的标准方程为＋＝1．]
2516
3．已知椭圆＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最
8大值是( )
A．8 B．22 C．10 D．42 A [由椭圆的定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝42，
y2x2
x2
2
?|PF1|＋|PF2|?＝8(当且仅当|PF|＝|PF|时取等号)．]
∴|PF1|·|PF2|≤??12
2??
4．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程为( ) A．＋＝1(x≠0)
3620C．＋＝1(x≠0)
620
2
x2y2
B．＋＝1(x≠0) 2036D．＋＝1(x≠0) 206
x2x2
y2
x2y2y2
B [∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)， ∴BC＝8．
- 1 -
AB＋AC＝20－8＝12，∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆，焦点在y轴上， ∴a＝6，c＝4，∴b＝20，
∴点A的轨迹是＋＝1(x≠0)．]
2036
5．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( ) A．＋y＝1
5B．＋＝1
45
C．＋y＝1或＋＝1
545D．以上答案都不对
C [直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)， 由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1， ∴a＝5，所求椭圆的标准方程为＋y＝1．
5当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1， ∴a＝5，所求椭圆标准方程为＋＝1．]
54二、填空题
6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为 ．
22
2
x2y2
x2
2
x2y2x2
2
x2y2
x2
2
y2x2
x2y2
??a＋c＝3，
＋＝1 [由题意可得?43?a－c＝1.?
2
2
2
??a＝2，
∴?
?c＝1.?
故b＝a－c＝3，所以椭圆方程为＋＝1．] 43
7．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(6，1)，P2(－3，－2)，则椭圆的方程为 ．
x2y2
x2y2
＋＝1 [设椭圆方程为mx＋ny＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)． 93
22
∵椭圆经过点P1，P2，
∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．
- 1 -
??6m＋n＝1， ①则???3m＋2n＝1， ②
1
m＝，??9
①②两式联立，解得?1
n＝??3.
∴所求椭圆方程为＋＝1．]
93
x2y2
x2y2
8．如图所示，F1，F2分别为椭圆2＋2＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积
ab为3的正三角形，则b＝ ．
2
23 [由题意S△POF2＝∴a＝b＋4．
2
2
32
c＝3，∴c＝2， 4
y213
∴点P坐标为(1，3)，把x＝1，y＝3代入椭圆方程2＋2＝1中得2＋2＝1，
b＋4bb＋4b解得b＝23．]
三、解答题
9．已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，a＝3b，求椭圆的标准方程．
2
x2
x2y29
[解] 当焦点在x轴上时，设其方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．由椭圆过点P(3,0)，知2＋aba＝1，又a＝3b，解得b＝1，a＝9，故椭圆的方程为＋y＝1．
b9
20
22
x2
2
y2x2
当焦点在y轴上时，设其方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．
ab0922
由椭圆过点P(3,0)，知2＋2＝1，又a＝3b，联立解得a＝81，b＝9，故椭圆的方程为
aby2
81
＋＝1． 9
故椭圆的标准方程为＋＝1或＋y＝1．
8199
10．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x＋4x＋y－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方
2
2
x2
y2x2x2
2
程．
[解] 将圆的方程化为标准形式为(x＋2)＋y＝6， ∴圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图：
2
2
2
- 1 -
由于动圆M与已知圆B相内切，设切点为C．
∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|， 而|BC|＝6，|CM|＝|AM|， ∴|BM|＋|AM|＝6．
根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点的椭圆，且2a＝6． ∴a＝3，c＝2，b＝a－c＝5， ∴所求圆心的轨迹方程为＋＝1．
95
11．(多选题)下列命题是真命题的是( )
A．已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝2的点P的轨迹为椭圆 B．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段 C．到定点F1(－3,0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点P到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和，则点P的轨迹为椭圆
BD [A中2<2，故点P的轨迹不存在；B中2a＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；C中到定点F1(－3，0)，F2(3,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)；D中点
2
2
x2y2
M(5,3)到定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和为410>8，故点P的轨迹为椭圆．]
12．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为 ( )
A．＋＝1
86C．＋＝1
42
x2y2x2y2
B．＋＝1 166D．＋＝1
84
x2y2
x2y2
x2y2
A [设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．
ab43
由点P(2，3)在椭圆上知2＋2＝1．又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|
abc1222
＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，＝，又c＝a－b，
a2
- 1 -
ab??联立?c＝a－b，得a＝8，b＝6，c1??a＝2，
22
2
2
2
2
4
3
＋2＝1，
故椭圆方程为＋＝1．]
86
13．(一题两空)已知A(－1,0)，C(1,0)是椭圆C的两个焦点，过C且垂直于x轴的直线交椭圆于M、N两点，且|MN|＝3，则椭圆的方程为 ，若B是椭圆上一点，则△ABC的最大面积为 ．
x2y2
x2y2
4
＋＝1 3
2
2
2
2
x2y2b22b3 [设椭圆的方程为2＋2＝1，令x＝c，则y＝±，由|MN|＝3，得＝
abaa3，又a－b＝c＝1，∴a＝4，b＝3，所以椭圆的方程为＋＝1，结合椭圆知当B点为椭
431
圆与y轴交点时，S△ABC的面积最大，此时S△ABC＝×2×3＝3．]
2
14．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，椭圆的短半轴长为
22
x2y2
b＝3，则△PF1F2的面积为 ．
3 [设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则根据椭圆的定义，得m＋n＝2a． 又∵△F1PF2中，∠F1PF2＝60°，
∴根据余弦定理，得4c＝m＋n－2mncos 60°， 即m＋n－mn＝4c． 42
∴①②联解，得mn＝b，
3
1143
根据正弦定理，得△PF1F2的面积为：S＝mnsin 60°＝××3×＝3．]
2232
15．设F1，F2分别是椭圆＋y＝1的两焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．
4→→
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值； →→
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且BF1＝λCF1，求λ的值； (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值． [解] (1)因为椭圆的方程为＋y＝1，
4
2
2
2
2
2
2
①
②
x2
2
x2
2
- 1 -
2020_2021学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.5.1椭圆的标准方程课时分层作业含
