实验 Z变换、零极点分析 

实验二 Z变换、离散系统零极点分布和频率分析 实验目的 1. 学会运用MATLAB求离散时间信号的z变换和z反变换； 2．学会运用MATLAB分析离散时间系统的系统函数的零极点； 3. 学会运用MATLAB分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； 4. 学会运用MATLAB进行离散时间系统的频率特性分析。 实验内容 一、 实验原理及实例分析 （一）离散时间信号的Z变换

1．利用MATLAB实现z域的部分分式展开式

MATLAB的信号处理工具箱提供了一个对F(Z)进行部分分式展开的函数residuez()，其调用形式为：

[r,p,k]=residuez(num,den)

式中，num和den分别为F(Z)的分子多项式和分母多项式的系数向量，r为部分分式的系数向量，p为极点向量，k为多项式的系数向量。 【实例1】 利用MATLAB计算F(z)18的部分分式展开式。 ?1?2?318?3z?4z?z解：利用MATLAB计算部分分式展开式程序为 % 部分分式展开式的实现程序

num=[18]; den=[18 3 -4 -1]; [r,p,k]=residuez(num,den) 2．Z变换和Z反变换

MATLAB的符号数学工具箱提供了计算Z变换的函数ztrans()和Z反变换的函数iztrans（），其调用形式为

F?ztrans(f)f?iztrans(F)

上面两式中，右端的f和F分别为时域表示式和z域表示式的符号表示，可应用函数sym来实现，其调用格式为

S?sym?A?

式中，A为待分析的表示式的字符串，S为符号化的数字或变量。 【实例2】求（1）指数序列anu?n?的Z变换;(2)F?z??解 （1）Z变换的MATLAB程序 % Z变换的程序实现 f=sym('a^n'); F=ztrans(f) 程序运行结果为： z/a/(z/a-1)

可以用simplify( )化简得到 : -z/(-z+a)

（2）Z反变换的MATLAB程序 % Z反变换实现程序 F=sym('a*z/(z-a)^2'); f=iztrans(F) 程序运行结果为 f = a^n*n

（二）系统函数的零极点分析 1. 系统函数的零极点分布

离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即

H(z)?Y(z) （3-1） X(z)az?z?a?2的Z反变换。

如果系统函数H(z)的有理函数表示式为：

b1zm?b2zm?1???bmz?bm?1 （3-2） H(z)?nn?1a1z?a2z???anz?an?1那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到，tf2zp的语句格式为：

[Z,P,K]=tf2zp(B,A)

其中，B与A分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。它的作用是将H(z)的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即：

H(z)?k(z?z1)(z?z2)?(z?zm) （3-3）

(z?p1)(z?p2)?(z?pn)【实例3】 已知一离散因果LTI系统的系统函数为

H(z)?z?0.32 2z?z?0.16试用MATLAB命令求该系统的零极点。

解：用tf2zp函数求系统的零极点，MATLAB源程序为 B=[1,0.32]; A=[1,1,0.16]; [R,P,K]=tf2zp(B,A) R= -0.3200 P= -0.8000 -0.2000 K= 1

因此，零点为z?0.32，极点为p1?0.8与p2?0.2。

若要获得系统函数H(z)的零极点分布图，可直接应用zplane函数，其语句格式为：

zplane(B,A)

其中，B与A分别表示H(z)的分子和分母多项式的系数向量。它的作用是

在Z平面上画出单位圆、零点与极点。

z2?0.36【实例4】 已知一离散因果LTI系统的系统函数为H(z)?2，试

z?1.52z?0.68用MATLAB命令绘出该系统的零极点分布图。

解：用zplane函数求系统的零极点，MATLAB源程序为 B=[1,0,-0.36]; A=[1,-1.52,0.68]; zplane(B,A),grid on legend('零点','极点') title('零极点分布图')

程序运行结果如图3-1所示。可见，该因果系统的极点全部在单位圆内，故系统是稳定的。

图3-1 零极点分布图

2、系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

与拉氏变换在连续系统中的作用类似，在离散系统中，z变换建立了时域函数h(n)与z域函数H(z)之间的对应关系。因此，z变换的函数H(z)从形式可以反映h(n)的部分内在性质。我们仍旧通过讨论H(z)的一阶极点情况，来说明系统函数的零极点分布与系统时域特性的关系。

【实例5】 试用MATLAB命令画出现下列系统函数的零极点分布图、以及对应的时域单位取样响应h(n)的波形，并分析系统函数的极点对时域波形的影响。

（1）H3(z)?z

z2?1.2z?0.72解：MATLAB源程序为 b3=[1,0]; a3=[1,-1.2,0.72]; subplot(1,2,1) zplane(b3,a3)

title('极点在单位圆内的共轭复数') subplot(1,2,2) impz(b3,a3,30);grid on; figure

程序运行结果分别如图3-2的（a）所示。

(a)

图3-2 系统函数的零极点分布与其时域特性的关系

当极点位于单位圆内时，h(n)为衰减序列；当极点位于单位圆上时，h(n)为等幅序列；当极点位于单位圆外时，h(n)为增幅序列。若h(n)有一阶实数极点，则h(n)为指数序列；若h(n)有一阶共轭极点，则h(n)为指数振荡序列；若h(n)的极点位于虚轴左边，则h(n)序列按一正一负的规律交替变化。

（三）离散时间LTI系统的频率特性分析