第30届全国中学生物理竞赛决赛试题
一．（15分）一质量为m的小球在距水平地面h高处以水平速度2gh抛出，空气阻力不计，小球每次落地反弹时，水平速度不变，竖直速度按同样的比率减小。若自第一次反弹开始小球的运动轨迹与其在地面的投影之间所包围的面积总和8为h2，求小球在各次与地面碰撞过程中所受到的总冲量。 21提示：小球每次做斜抛运动（从水平地面射出又落至地面）的轨迹与其在地面投影之间所包围的面积等于其最大高度与水平射程乘积的三分之二。
二．（15分）质量均为m的小球1和小球2由一质量可忽略、长度为l的刚性轻杆连接，竖直地靠在墙角，如图所示。假设墙和地面都是光滑的。初始时给2一个微小的向右的初速度。问系统在运动过程中，当杆与竖直墙面之间的夹角为何值时，球1开始离开墙面？
三．（25分）太空中有一飞行器靠其自身动维持在地球赤道正上方L??R处，相对于赤道上一地面物质供应站保持静止。这里，Re为地球半径，?为常数，
?GM????m，而?m??2e3??1，Me和?e分别为地球的质量和自 转角速度，G
??ERE?为引力常数。设想从供应站到飞行器有一用于运送物资的刚性、管壁匀质、质量为mp的竖直输送管。输送管下端固定在地面上，并设法保持输送管与地面始终垂直。推送物资时，把物资放入输送管下端的平板托盘上，沿管壁向上推进，并保持托盘运动速度不致过大。忽略托盘和管壁之间的摩擦力，考虑地球自转，但不考虑地求公转。设某次所推送物资和托盘总质量为m 。 （1） 在把物资从地面送到飞行器的过程中，地球引力和惯性离心力做的功分别是多少？
（2） 在把物资从地面送到飞行器的过程中，外推力至少需要做多少正功？ （3） 当飞机离地面的高度（记为L0）为多少时，在把物资送到飞行器的过程中，地球引力和惯性离心力所做功的和为零？ （4） 如果适当地控制飞行器的动力，使飞行器在不输送物资时对输送管的作用力恒为零，在不输送物资的情况下，计算当飞行器离地面的高度为L??Re时，地面供应站对输送管的作用力；并对L?L0，L?L0,?mRe?L?L0三种情形，分别给出供应站对输送管道的作 用力的大小和方向。
13四．（20分）一电路包含内电阻为RE、电动势为E的直流电源和N个阻值均为R的相同电阻，有N+1个半径均为r相同导体球通过细长导线与电路连接起来。为了消除导体球之间的相互影响，每个导体球的外边均用半径为r0(>r)同心接地导体球壳包围起来，球壳上有缺口允许细线导线进入但与其绝缘，如图所示。把导体球按照从左至右的顺序依次编号为1到N+1。所有导体球起初不带电，开关闭合并达到稳定后，导体球上所带的总电量为Q，问导体球的半径为多少？已知静电力恒量为k。
五．（20分）如图，处于超导状态、半径为r0、质量为m、自感系数为L的超导细圆环处在竖直方向的柱形磁柱上方，其对称轴与磁棒的对称轴重合。圆环附近的磁场具有对称性，磁感应强度B可用一个竖直分量Bx?B0(1?2?Z)和一个径向分量Br?B0?r近似地描述。这里B0、?为大于零的常量，z、r分别为竖直和径向坐标。在t=0时刻，环心的坐标为z=0 、r=0，环上电流为I0，（规定环中电流的正方向与z轴正方向之间满足右手螺旋关系），此时把圆环释放，环开始向下运动，其对称轴仍保持竖直。处于超导态的超导细环具不这样的性质：穿过超导细圆环的磁通量保持不变。
1．圆环作何运动？给出环心的z坐标与时间的关系。 2．求t时刻环中电流I的表达式。
第30届全国中学生物理竞赛决赛试题
