初 中 数 学 几 个 数 学 模 型
模型１、l:r=360:n ①圆锥母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。 ②劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图．则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于（ C ） A．45° Ｂ．60° C．90° Ｄ．120°
00
③要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为２cm，母线长为４cm，在一个边长为8cm的正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（ C ） （Ａ）一个也不能做 （Ｂ）能做一个 （Ｃ）可做二个 （Ｄ）可做二个以上 4、（2004河北T7）在正方形铁皮上剪下个圆形和扇形,使之恰好围成如图所示的圆锥模型.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 （D ）A、2r=R B、r?R C、3r?R D、4r?R 模型2、角平分线+平行=等腰三角形 如图，?ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（ B ）.
（A）EF>BE+CF （B）EF=BE+CF （C）EF ①在△ABC中，a=1,b=3,∠A=30，则∠B=___60___度。 94②两个全等的含30, 60角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．（等腰直角三角形） 00 ③（2006邵阳T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于（1：3 ） ④（2005年浙江绍兴T18．）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。若两小题都做，以第（1）小题计分） 选做第________小题，答案为________ （1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积S1:S2之比等于________ （2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积A1:A2之比等于________ ⑤（2006年武汉市T24．10分）已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放， 点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。 （1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH； （2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由； （3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。 F F 45° C C (N) E M 60° E A B D A G D H B 图① 图② 第24题图 E C C E F F N M M N A G D H B A G D H B 图④ 图③ 第24题图 0 ⑥一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30的直角三角形组成,利用这副三角板构成 0 一个含有15角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,不写作法. ⑦将一副三角尺如图摆放一起,连接AD, 则∠ADB的余切值为 . ⑧如图，?ABC中，?ACB?90?，?B?30?，AC?1，过点C作CD1?AB于D1， DD?ABD3过D1作D1D2?BC于D2，过D2作23于，这样继续作下去，……，线段DnDn?1能等于（n为正整数） nn?1?3??3?????2 (A) ?? (B) ?2??3??3??????2??2?? (D)??(C)?nn?1C D2 D4 D6 A D1 D3 D5 C⑨已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题： （第⑧题图） （1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边OA，OB交于点C，D.. ①在图甲中，证明：PC=PD； B 3②在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=2PD，求△POD与△PDG的面积之比. （2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长. A A A M M M P P C C O D B O O B D B 图甲 图乙 图丙 ⑩如图，客轮沿折线A－B－C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A－B－C的某点E处，已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝90°，客轮速度是货轮速度的2倍。 （1）选择：两船相遇之处E点（ ）。 A、在线段AB上 B、在线段BC上 C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上 （2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?（结果保留根号）。 ADCB ⒒将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动， 直角的另一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。设A、P两点间的距离为x， （1）当点Q在CD上时，线段PQ、PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论。 （2）当点Q在CD上时，求四边形PBCQ的面积y与x的函数解析式，并求出X的取值范围； （3）当点P在线段AC上滑动时，三角形PCQ是否能为等腰三角形？如果可能，指出所有可能使三角形PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应 D的X的值；如果不能说明理由（以下三个图的形状，大小相AP1同，以供操与解题时备用） 3Q4O解：（1）PQ=PB 证明：连接BD交AC于点O，连接PD，如图（1） 四边形ABCD是正方形 B? AC垂直平分BD，?ODC??OCD?45 ? PB=PD，???4?90 ? ?1??2 图 (1) 00C?PB?PD??3??4?900??1??3??2??3??PDQ??2??ODC??2?450?PQD??3??OCD??3?450??PDQ??PQD?PD?PQ?PB?PQ （2）连接BD交AC于点O，作QE?AC于点E（如图2） APOECQD ……………………………..4分 ?PB?PQ,?PBO??QPE,?POB??QEP?900??POB??QEP2?QE?OP?OA?AP??xB211?SPBCQ?S?PBC?S?PCQ?PC(BO?QE)?(2?x)(2?x)221?y??x2?1(1?x?2)2 ………………………………………………4分 （3）可能 当P与A重合时，Q与D重合，有PQ=QC，X=0 当PC=CQ时，且Q在DC的延长线上时，（图形3），连接BD交AC于点O，连接BQ，则 22222?x,BQ?BC?CQ?1?(2?x)CQ=PC=由（1）证得，PB=PQ， ?PB2?(21BQ)2?1?(2?x)222 AOPBCD??PB2?BO2?OP212221?(2?x)2?()2?(x?)222由?x?1 …………….3分 ? 12.如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。 当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； ② 当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S： ③ 当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。 ??Q①过点P作PE?AB 交AB于E, 过点P作PF?CD交BC于F -----1分 PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE ∴BE=PF ------2分 00?EPB??FPQ?90?EPB??EBP?90 ∴?EBP??FPQ------3分 ∴ ?PEB??PFQ ------4分 ∴PB=PQ --------5分 设PM=x,BM=1-x, QC=1-x-x=1-2x S?S?PBC?SPCQ11??BC?PM?CQ?PF2211??1?x?(2x?1)x22?x2-----------8分 ③有可能成为等腰三角形，求出x值-------11分 13．（12分）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），
初中数学几个常用模型
