12．有人编了一程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法），每次加法将上次的运算结果加2或加3；每次乘法将上次的运算结果乘2或乘3。例如，30可以这样得
+3?2?2?3到：145851o-301???4???8???10???30。.
请你按上述要求，求证： （1）可以得到22。
（2）可以得到2100?297?2。
13．计算：
1?12??123?（1）??????????2?33??444?2?1?????6060?59??； 60?（2）1?11??1?21?2?3??11?2?3???100；
?1??11????2012??23?1??. 2011??11（3）????231??11??1???2012??231??11???1???2011??23
111114．在数学活动中，小明为了求?2?3?4?2222的几何图形。
?1的值（结果用n表示），设计了如图①所示n2
1111（1）请你用这个几何图形求?2?3?4?2222111（2）请你用图②，再设计一个能求?2?3?222
?1的值； n2?11?n的值的几何图形。 42215．在1，2，…，2002前面任意添上正号和负号，求其非负和的最小值。
16．形数
（1）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形态来研究数。比如：他们研究过图①中的1，3，6，10，…由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数。类似的，称图②中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中，既是三角形数，又是正方形数的是（ ）。 A.289
B.1024
C.1225
D.1378
（2）古希腊数学家把数，1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性。若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为an，计算a1?a2,a2?a3,a3?a4,求a399?a400的值。
17．同学们，我们曾经研究过n?n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12?22?32??n2。但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来研究并解
决这个问题。首先，通过探究我们已知知道0?1?1?2?2?3?们可以这样做： （1）观察并猜想：
1??n?1??n?n?n?1??n?1?时，我
312?22??1?0??1??1?1??2?1?0?1?2?1?2??1?2???0?1?1?2?，
12?22?32??1?0??1??1?1??2??1?2??3?1?0?1?2?1?2?3?2?3??1?2?3???0?1?1?2?2?3?，
12?22?32?42??1?0??1??1?1??2??1?2??3??1?0?1?2?1?2?3?2?3??1?2?3?4???……
?；（2）归纳结论： 12?22?32??n2??1?0??1??1?1??2??1?2??3????1??n?1???n?????16;????
（3）实践应用：
通过以上探究过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是________。
18．（黄冈市竞赛题）已知m，n互为相反数，a，b互为负倒数，x的绝对值等于3，求x3??1?m?n?ab?x2??m?n?x2001???ab?2003的值．
19．（2007年全国初中数学联赛培训题）计算：
2007?20062006?2008?20072007?2006?20072007?2007?20082008．
20．（2005年大连市中考题）在数学活动中，小明为了求示），设计了如图7-3（1）所示的几何图形． （1）请你用这个几何图形求
11111?2?3?4?????n的值（结果用n表2222211111?2?3?4?????n的值． 2222211111?2?3?????4?n的值的几何图形． 22222（2）请你用图（2），再设计一个能求
21．（首届华杯赛试题）已知
11111?????????c，求c的值． 2?33?44?55?699?100
22．（上海市竞赛题）图7-4中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：
11，，1，2，424，8，16，32，64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值．
23．（首届华杯赛试题）某按摩椅生产商为促销按摩椅，做了以下的优惠承诺：①任何顾客购买按摩椅，可获25%折扣；②若是会员，可折后再折35%；③若是会员，同时又是长者，可额外再折40%．若一名长者会员以585元购买了一台按摩椅，问买价较原价便宜了多少元？
24．两个同样的圆柱形水池A和B，深度都是1.2米。1号抽水机18分钟可将A 池注满，2号抽水机24分钟可将A池的满池水注入B地。现在，若A池中储有
1池水，B池没有水，同时打开1号、62号抽水机，当A池水深0.6米时，同时关闭两台抽水机，求此时B池的水深。 25．在“
123456789”的小方格中填上“+”“—”号，如果可以使其代数
和为n，就称数n是“可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为+1+2-3-4+5+6-7-8+9是1的一种可被表出的方法）。
（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）求25可被表出的不同方法的种数。
初中数学竞赛专题2：有理数
