《高观点下的几何学》练习题参考答案
一
一、填空题。
1．公理法的三个基本问题是（
相容性问题
）、（ 独立性问题
）和（
2．公理法的结构是（原始概念的列举） 、（定义的叙述 ）、（ 公理的叙述）和（定理的叙述和证明）3．仿射变换把矩形变成 平行四边形
4．仿射变换把平行线变成 平行线
5．仿射变换把正三角形变成
三角形
二、简答题。
1．试给一个罗氏几何的数学模型。 答：罗氏几何的（
Cayley-F.kLein
）模型
在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面” 。
罗氏平面几何的原始概念解释成：
罗氏点：圆内的点；
罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）
。
结合关系：圆内原来的点和线的结合关系；
介于关系：圆内弦上三点的介于关系； 运动关系：欧氏平面上，将圆
K 变成自身的射影变换。
罗氏平行公理（在罗氏平面上）
通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。
2．试给一个黎曼几何的数学模型 答：黎曼几何的（
F.KLein ）模型
黎曼几何的原始概念解释成：
黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点；
黎氏直线：球面上的大圆；
黎氏平面：改造后的球面。
黎氏点与黎氏直线的基本关系：
完备性问题）。
。
(1) 通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线； (2) 通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线；
(3) 每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。 3．简述公理法的基本思想。
答：若干个原始概念（包括元素和关系） 、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题
都必须给出证明， 原始概念、 定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。
4．简述公理系统的独立性
答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理 系统中是独立的。如果一个公理系统中的没一条工理都是独立的，则称这个公理系统是独立的。
5．试着陈述非欧几何是怎样产生的？
答：众所周知，欧几里得《几何原本》是演绎体系的里程碑，虽然它不尽完善，但它确实是建立科学演绎体系的最早的代表作，它一经问世，就引起了学术界的广泛关注，欧几里得之后的数学家们在对《几何原本》的研究过程发现，它的第五公设的内容不象前四条公设叙述的那么简单，同时它又是在第二十九条命题之后才出现的，于是这些数学家很自然提出这样一个问题：是否底五公设它不是一条公理，而是一条命题呢？与是他们试图去论证第五公设的独立性，在这种论证过程中，罗巴切夫斯基与黎曼分别建立了新的无矛盾的科学演绎体系，即罗氏及何与黎曼几何，这两种几何与欧氏几何有共同的绝对几何公理体系，只是平行公理不同。
6．简述公理系统的完备性。
答：如果公理系统的所有模型都是同构的，则称这个公理系统是完备的，或称其具有完备性。
7．简述公理系统的相容性。
答：公理系公理系统的相容性是指这个系统的所有构成要素是无矛盾的。
任何一个公理系统都要满足无矛盾性。
证明公理系统的相容性常用的方法是模型法。
三、选择题。
1．三角形内角和等于
180 度与（ A ）
A
欧氏平行公理等价
B
罗氏平行公理等价
C
椭圆几何平行公设等价
可判定
2．欧氏几何与非欧几何的本质区别为（ A ）
B
A
平行公设不同
结合公理相同
C
绝对公设不同
3．设点共线，且在仿射变换下分别变成
A,B,C
A ',B ', C' ，则 A',B',C' 三点（
A
A．共线 B ．三角形顶点 C ．可能不共线 D
．可能重合
4．正方形在仿射变换下变成（
B
）
A．正方形 B ．平行四边形 C
．菱形
D
．矩形
5．正方形的下列性质中哪些是仿射的 ( 1 ， 4 )
D
D
结合公理不同
不
）
（ 1）对边平行； （ 2）四角相等；（ 3）四边相等；（ 4）对角线互相平分；
（ 5）对角线互相垂直；
（ 6）角被对角线平分； （ 7）对角线相等；
（ 8）面积
6．在仿射对应下，哪些量不变？（
C ， D
） A．长度
B
．角度
C
．单比
四、计算与证明题。
1．求出将点 (3,1) 变成点 ( 1,3) 的绕原点的旋转变换，
解：设所求的旋转变换为
x ' x cos y sin y '
x sin
y cos
D
．交比
再将所得的变换用于抛物线y2
x 18
0 上。
8y
则
2
于是所求的旋转变换为
x ' y 即 x
y '
y '
x
y
x '
将此变换用于所给的抛物线得
x '2
8x ' y ' 18
0 。
2． 试确定仿射变换，使
y 轴、 x 轴的象分别为直线 x y 1 0和 x y 1 0 ，且点 (1,1) 的象为原点。
解：所求变换的公式为
x 1 x'
1 y '
1 1 1
其中
y
2 x '0
2
y '
2
2
2
则 x 0 变成直线 1x '
1 y '
1
0
但由题设 x 0 变成 x'
y ' 1
0 可知，
1x '
1 y'10 与 x ' y '
1 0 表示同一直线。
所以
1
1
1
1
1 1
1
h
因此 hx
x' y '
1 同理
ky
x'
y'
1
此处 h, k 是参数。
又因为点（ 1， 1）的象为原点，于是
h 1, k
1，所以，所求变换的逆式为
x x ' y'
1
y
(x '
y ' 1)
由此得出所求的仿射变换为
y
x 'x
2
2
y '
x y 1
2
2
3．求出将点 (2,3) 变成点 (0,
1) 的平移变换，在这个平移变换下，抛物线 y2
x 8 y 18 0 变成什么曲线？解：设所求的平移变换为
x'
x a y '
y b
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