第5讲 数学归纳法
[考纲解读] 1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．(重点) 2．数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，对本讲并没有直接涉及，当遇到与正整数n有关的不等式的证明，且其他方法不易证时，可以考虑用数学归纳法进行证明求解.
数学归纳法的定义
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： 1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
01k＋1时命题2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝□也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．
1．概念辨析
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( ) (2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( )
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( ) 答案 (1)× (2)× (3)×
2．小题热身
(1)下列结论能用数学归纳法证明的是( ) A．x>sinx，x∈(0，π) B．ex≥x＋1(x∈R)
111?1?－
C．1＋2＋22＋…＋n－1＝2－?2?n1(n∈N*)
??2D．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(α，β∈R) 答案 C
解析 数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知C符合题意．
(2)(2019·德州模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为( )
A．1 C．1＋2＋22 答案 D
解析 n＝1时，左边计算所得的式子为1＋2＋22＋23.
(3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．
答案 2k＋1
解析 由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.
B.1＋2 D.1＋2＋22＋23
题型 一 用数学归纳法证明恒等式
(2019·杭州模拟)已知函数f(n)＝－1＋3－5＋…＋(－1)n·(2n－1)(n∈N*)． (1)求f(n＋1)－f(n)；
(2)用数学归纳法证明：f(n)＝(－1)n·n.
解 (1)∵f(n)＝－1＋3－5＋…＋(－1)n·(2n－1)(n∈N*)． ∴f(n＋1)－f(n)＝(－1)n＋1(2n＋1)． (2)证明：①n＝1时，f(1)＝－1成立． ②假设n＝k(k∈N*)时成立，即f(k)＝(－1)k·k. 则n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋(－1)k＋1(2k＋1)
＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1(2k＋1－k)＝(－1)k＋1(k＋1)． ∴n＝k＋1时也成立．
综上可得，对于任意n∈N*，f(n)＝(－1)n·n.
应用数学归纳法证明等式的思路和注意点
(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．
(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．
提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.
2021届高考数学一轮复习第11章算法、复数与推理证明第5讲数学归纳法创新教学案(含解析)新人教版
