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第九章 多元函数微分法及其应用
引入：在上册书中，我们学习了一元函数微积分学，所讨论的对象都只有一个自变量的函数，而在实际应用中，研究的问题往往要涉及多方面的因素，反映在数量上就是一个变量要依赖几个自变量，即数学上的多元函数，从这节课开始，我们进入多元函数微积分学的学习阶段.先来学习多元函数微分学.
由于从一元函数到二元函数，单与多的差异已能充分体现，我们由二元函数入手来研究多元函数微分学，然后把相关概念及性质推广到三元、四元直至n元函数上去.
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集的相关概念
1. 平面点集：E?{(x,y)|}(x,y)具有性质P}
E?R2?R?R?{(x,y)|}x?R,y?R}
例如：C?{(x,y)|}x2?y2?r2}?{P||OP|?r}，其中点P表示点(x,y). 2. 邻域：P0(x0,y0)?R2.
(1). 邻域：U(P0,?)?{P|P0P|??}?{(x,y)(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2??} (2). 去心邻域：U(P0,?)?{P0?|P0P|??}?U(P0) 3. 坐标面上的点P与平面点集E的关系：P?R2,E?R2 (1). 内点：若???0，使U(P,?)?E，则称P为E的内点. (2). 外点：若???0，使U(P,?)?E??，则称P为E的外点.
(3). 边界点：若???0，U(P,?)?E??，且U(P,?)?E，则称P为E的边界点.
边界：E的边界点的全体称为它的边界，记作?E. (4). 聚点：若???0，U(P,?)?E??，则称P为E的聚点.
导集：E的聚点的全体称为它的导集.
注：1°. 若P为E的聚点，则P可以属于E，也可以不属于E.
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2°. 内点一定是聚点；外点一定不是聚点；边界点也不总是聚点，如孤立的边界点. 例如：E1?{(x,y)1?x2?y2?2}；E2?{(x,y)1?x2?y2?2}?{(0,0)}. 4. 一些常用的平面点集：
(1). 开集：若点集E的点都是其内点，则称E为开集.
(2). 闭集：若点集E的边界?E?E，则称E为闭集. (开集加边界) (3). 连通集：若E中任何两点都可用属于E的折线连接，则称E为连通集. (4). 开区域：连通的开集称为开区域，也称为区域. (5). 闭区域：开区域加上其边界称为闭区域.
例如：E1?{(x,y)1?x2?y2?2}为区域. E2?{(x,y)1?x2?y2?2}为闭区域. (6). 有界集：若?r?0，使E?U(O,r)，则称E为有界集. (7). 无界集：若?r?0，使E?U(O,r)，则称E为无界集.
二、n维空间：对取定的自然数n，称n元数组(x1,x2,?,xn)的全体为n维空间，记为Rn. 注：前述的邻域、区域等相关概念可推广到n维空间. 三、多元函数的概念 1. 定义：
z?f(x,y)???.，或z?f(P)，其中P(x,y)?D.
因 映 自 变 变 量 射 量
定义域：D.
值 域：f(D)?{zz?f(x,y),(x,y)?D}?R.
注：可推广：n元函数：u?f(x1,x2,?,xn)，(x1,x2,?,xn)?D?Rn. 例: 1. z?arcsin(x2?y2)，D?{(x,y)x2?y2?1}.
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2. z?ln(x?y)，D?{(x,y)x?y?0}.
2. 几何表示：函数z?f(x,y)对应空间直角坐标系中的一张曲面:F(x,y,z)?z?f(x,y)?0. 四、二元函数的极限
1.定义：设函数f(x,y)的定义域为D，点P0(x0,y0)为D的聚点，若?A?R，???0，???0，
?P(x,y)?D?U(P0,?)，满足|f(x,y)?A|??，则称A为f(x,y)当P(x,y)?P0(x0,y0)时的极
o限，记作
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A，称之为f(x,y)的二重极限.
1，求证limf(x,y)?0.
(x,y)?(0,0)x2?y2例1. 设f(x,y)?(x2?y2)sin证明：???0，要使不等式
(x2?y2)sin成立，只须取???，
112222?0?(x?y)sin?x?y?? 2222x?yx?y 于是，???0，????，?P(x,y)?D?U(0,?)，总有(x2?y2)sino1?0??，即 22x?y(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.
例2. 证明
(x,y)?(0,0)lim?xy22?x2?y2,x?y?0. f(x,y)不存在，其中f(x,y)???0,x2?y2?0?证明：当P(x,y)沿直线y?kx(k?0)趋于O(0,0)时，总有
limkx2kf(x,y)?lim2?， 2x?0x?k2x21?k(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,0)y?kxf(x,y)随着k的不同而趋于不同的值，故极限limf(x,y)不存在.
例3. 求极限解：
limsinxy.
(x,y)?(0,2)xlimsinxysinxysinxy?lim?y?lim?limy?1?2?2.
(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy?0xxyxyy?2五、二元函数的连续性
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1. 二元函数的连续性:设函数f(x,y)的定义域为D，点P0(x0,y0)为D的聚点，且P0?D，若
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)，则称z?f(x,y)在点P0(x0,y0)连续.
2. 二元函数的间断点: 设函数f(x,y)的定义域为D，点P0(x0,y0)为D的聚点，若f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称P0(x0,y0)为f(x,y)的间断点. 注：间断点可能是函数有定义的孤立点或无定义的点. 3. 性质：设D为有界闭区域.
(1). 有界性：?M?0， ?(x,y)?D，有|f(x,y)|?M.
?f(P1)?max{f(P)|P?D}(2). 最值性：?P,?P?D，有f(P1,P2?D，使得?1)?f(P)?f(P2). f(P)?min{f(P)|P?D2?(3). 介值性：?C?[f(P1),f(P2)]，?P(x,y)?D，使得f(x,y)?C. 4. 二元连续函数的运算性质 (1). 和、差、积仍连续； (2). 商 (分母不为零) 连续； (3). 复合函数连续.
5. 二元初等函数及其连续性
(1). 二元初等函数：由二元多项式和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的、并用一个式子表示的二元函数称为二元初等函数. (2). 二元初等函数在其定义区域内连续. 例4. 求
x?y.
(x,y)?(1,2)xylimx?yx?y3?f(1,2)?. ，则lim(x,y)?(1,2)xyxy2解：令f(x,y)?例5. 求
(x,y)?(0,0)limxy?1?1. xy可编辑
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解：
(x,y)?(0,0)limxy?1?1?(分子有理化) xyxy?1?111?lim?.
(x,y)?(0,0)xy(xy?1?1)(x,y)?(0,0)xy?1?12lim
第二节 偏导数
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高等数学第六版(同济版)第九章复习资料
