专题26 可转化为基本不等式的三角最值问题
基本不等式是解决最值问题的重要方法，有关三角最值问题是高考的热点和难点，解决此类问题的关键是将所求量转化为单一变量的函数或者双变量的表达式(后者必须找到这两个变量的关系式)，从而考虑采用基本不等式的方法求最值.
(2020·宿州模拟)在△ABC中，内角A，B，C满足2(tanB＋
tanBtanC
tanC)＝cosC＋cosB，则cosA的最小值为________．
本题考查运用基本不等式求三角形中的最值、范围问题，
本题首先是将已知条件等价转化(切化弦)，再利用正弦定理，得到关于三边长的等量关系，最后应用余弦定理求的最小值.
(2020·浙江模拟)若△ABC的内角满足sinA＋2sinB＝
2sinC，则cosC的最小值为________．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c, 且2ccosB
3
＝2a＋b，若△ABC的面积S＝12c，则ab的最小值为________．
(2020·永州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，
acosA＋bcosBc
b，c，若acosB－bcosA＝3，则的最小值为________． acosB
(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为
a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．
9 9 如图26-1，由题可知S△ABC＝S△BCD＋S△ABD， 图26-1 111由角平分线性质和三角形面积公式得acsin120°＝a×1×sin60°＋c×1×sin60°， 22211化简得ac＝a＋c，＋＝1 ac11c4ac4a因此，4a＋c＝(4a＋c)(＋)＝5＋＋≥5＋2·＝9 acacac当且仅当c＝2a＝3时取等号，则4a＋c的最小值为9. 111a 由面积公式得：acsin120°＝asin60°＋csin60°化简得a＋c＝ac?c＝222a－1(0 c2＋1－c|AB||AD|c 由角平分线定理可得：＝，即＝2 |BC||CD|aa＋1－a 化简得：(a－c)(a＋c－ac)＝0 当a＝c时，易得：a＝c＝2，则4a＋c＝10 当a≠c时，可得：a＋c＝ac，下同解法1. 13c 如图26-3，以B为坐标原点建立直角坐标系，则D(，)，A(－， 222 3 c)，C(a,0) 2 图26-3 →→ 由A，D，C三点共线，可得：AD＝λAC， 33c3→1c→ 又AD＝(＋，－c)，AC＝(a＋，－c) 222222 1c333c 由向量共线得：(＋)·(－c)＝(－c)·(a＋) 222222 化简得：a＋c＝ac?(a－1)(c－1)＝1 由4a＋c＝4(a－1)＋(c－1)＋5，则4(a－1)＋(c－1)≥24?a－1?·?c－1?≥2×2＝4 可得：4a＋c＝4(a－1)＋(c－1)＋5≥4＋5＝9. 3 当且仅当4(a－1)＝c－1，即a＝，c＝3时取等号． 2 →→→→BABCBABC→ 由角平分线性质可得：BD＝λ(＋)＝λ(＋) ① ca→→ |BA||BC| 图26-4 λλ 由A，D，C三点共线，可得：＋＝1，即：λ(a＋c)＝ac. ca ①式两边平方得：1＝λ2(1＋1＋2cos120°)?λ2＝1?λ＝1. 所以可得：a＋c＝ac，下同解法1. 如图26-4，过D点作DE∥AB交CB于点E. DECE1a－1 则DE＝1，由＝?＝ ，化简可得a＋c＝ac，下同解法1. ABBEca 作业评价 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2 ＋b2＝2c2，则cosC的最小值为________． 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a π ＝3，A＝3，则b＋c的最大值为________． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ab sinAsin(B－C)＝sinBsinCcosA，则c2的最大值为__________． (2019·南京一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a， b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为________． 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c, 已知a＝ tanA2c 3,1＋tanB＝b，求b＋c的最大值________． 圆x2＋y2＝16的弦AC、BD都过点P(2,0)，且AC⊥BD。四 边形ABCD面积的最大最小值分别为M和m，则M＋m＝_________.
2020届高考数学二轮复习专题《可转化为基本不等式的三角最值问题》
