一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．
求：
（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）若设AK=x，SEFGH=y，试写出y与x的函数解析式． （3）x为何值时，SEFGH达到最大值． 【答案】（1）解：设边长为xcm， ∵矩形为正方形， ∴EH∥AD，EF∥BC，
根据平行线的性质可以得出： = 、 = ， 由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ∵BE+AE=AB， ∴ + = 解得x= ， ∴AK= ， ∴当
时，矩形EFGH为正方形 + =1，
， = ，
（2）解：设AK=x，EH=24-x， ∵EHGF为矩形， ∴ = ，即EF= x，
∴SEFGH=y= x?（24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）
（3）解：y=- x2+16x 配方得：y=
（x-12）2+96，
∴当x=12时，SEFGH有最大值96
【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。
（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。
（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。
2．如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形．
（1）试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽；
（2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由．
【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)， 可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm
（2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0. ∵a>b， ∴a－b≠0， ∴x＝0， 又∵x>0，
∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段．
【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。
（2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即可判断。
，
3．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2 ， 求t的值；
（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形 在
中， 分别是
的中点，
是矩形，
（2）解：如图1，过点 作
于 ，
（舍）或
秒
为矩形时,如图所示：
（3）解：四边形
解得：
（4）解：当点 在 上时，如图2，
当点 在 上时，
如图3，
时，如图4，
时，如图5，
综上所述，
或 或 或
秒时，
是等腰三角形
【解析】【分析】（1）要证△BEF∽△DCB，根据有两对角对应相等的两个三角形相似可得证。根据三角形中位线定理可得EF∥AD∥BC，可得一组内错角相等，由矩形的性质可得∠C=∠A=∠BEF=
，所以 △BEF∽△DCB；
（2）过点 Q 作QM⊥EF于M，结合已知易得QM∥BE， 根据相似三角形的判定可得△QMF∽△BEF，则得比例式
,QM可用含t的代数式表示 ，PF=4-t，所以三角形
PQF的面积=QMPF=06，解方程可得t的值； （3）因为QG⊥AB，结合题意可得PQ
QPF
BEF，于是可得比例式求解；
（4）因为Q在对角线BD上运动，情况不唯一。 当点Q在DF上运动时，PF=QF； 当点Q在BF上运动时，分三种情况：
AB，根据相似三角形的判定可得
备战中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优易错试卷篇及详细答案
