奥本海姆信号与系统中文版课后习题答案

2tx(t)?4eu(?t)；输出响应1．对一个LTI系统，我们已知如下信息：输入信号

y(t)?e2tu(?t)?e?2tu(t)

(a) 确定系统的系统函数H(s)及收敛域。

(b) 求系统的单位冲激响应h(t)

?tx(t)?e,???t??? 求输出y(t)。 (c) 如果输入信号x(t)为

X(s)?解：(a)

?4?11?4,Re{s}?2,Y(s)???,??2Re{s}?2s?2s?2s?2(s?2)(s?2)

H(s)?1,Re{s}??2s?2

?2th(t)?eu(t) (b)

(c)

y(t)??????e?(t??)e?2?u(?)d??e?t

?t?ty(t)?H(?1)e?e; .

H(s)?2. 已知因果全通系统的系统函数

+?s?1?2ts?1，输出信号y(t)?eu(t)

(a) 求产生此输出的输入信号x(t). (b) 若已知

?－?|x(t)|dt??，求输出信号x(t).

?2teu(t)时，输出为上述x(t)中的一个，确定是哪个？求出系统(c) 已知一稳定系统当输入为

的单位冲激响应h(t).

解：(a)

Y(s)?Y(s)s?11X(s)??H(s)(s?1)(s?2) s?2。Re{s}??2，

由于H(s)的ROC为Re{s}??1，?X(s)的ROC为?2?Re{s}?1或Re{s}?1

1?2t2tx(t)?eu(t)?eu(?t)1ROC1为-2

1?2ttx(t)?(e?2e)u(t)2ROC2为Re{s}>13若，

(b) 若 ?+?－?|x(t)|dt??，则只能是

x(t)?x1(t)

12x(t)?e?2tu(t)?etu(?t)33即：

s?11?2t2tY(s)?,?2?Re{s}?1y(t)?x(t)?eu(t)?eu(?t)(s?1)(s?2)33(c) ;

?H(s)?Y(s)s?1?X(s)s?1, 这就是(a)中系统的逆系统。

uc(t)Re{s}?1

由于系统稳定?ROC为

h(t)??(t)?2etu(?t)

Y(s)的ROC为Re{s}??2,?X(s)的ROC为?2?Re{s}?1

1x(t)?e?2tu(t)?2etu(?t)3

y(t)*h(t)?e?2tu(t)?2e?2tu(t)*etu(?t)

1eu(t)*eu(?t)??e?e?2(t??)d??e?2tu(t)??3当t>0时，

?2tt0t1e?2tu(t)*etu(?t)??e?e?2(t??)d??e?2tu(?t)??3当t<0时，

12?y(t)*h(t)?e?2tu(t)?etu(?t)?x(t)33

从而证明该系统当输入为y(t)，输出为x(t)

3. 对差分方程

y(n)?511y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)662

所确述的LTI稳定系统，确定

（a）系统函数； （b）单位脉冲响应； （c）若系统输入x(n)?u(n)，求系统的响应y(n)；

11y(n)?[2(?)n?3(?)n]u(n)32（d）如果系统输出，求系统输入信号x(n)。

1?1zY(z)12H(z)???1X(z)1?5z?1?1z?21?1z?1z?6633 解：（a）, ROC:

1?1h(n)?(?)nu(n)3（b）

Y(z)?（c）

11?1?z?11?1z?131313)?(??1141?z1?z?1z?13, ROC:

311y(n)?u(n)?(?)nu(n)443

Y(z)?23?111?z?11?z?1322z?1?1?111z?(1?z?1)(1?z?1)2 32, ROC:

（d）

1(1?z?1)(2z?1?1)Y(z)3X(z)??H(z)(1?1z?1)(1?1z?1)32,

4. 某离散时间LTI因果系统在z平面上的零极点如图P7.17所示。已知系统的单位脉冲响应

h(n)的初值h(0)?1。

确定系统函数；

求系统的单位脉冲响应； 写出系统的差分方程；

1y(n)?(?)nu(n)2若系统的响应，求系统激励x(n)；

求出一个满足该系统差分方程的稳定系统的单位脉冲响应。

H(z)?(1?解：（a）

k1?1z)(1?2z?1)2 k?1.由h(0)?1得

114H(z)?(?)41?1z?11?3z?12（b）

11h(n)?(?)nu(n)?2nu(n)42

y(n)?（c）

3y(n?1)?y(n?2)?x(n)2

111?z?1Y(z)2X(z)???1?2z?11H(z)1(1?z?1)(1?2z?1)2（d）

5. 考查图P8.2所示的离散时间LTI稳定系统；

x(n) y(n) 1? 3D 1? 42 9图P8.2 D 确定该系统的系统函数及收敛域；

求出系统的频率响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应； 如果系统的输入若系统输入

x1(t)?(?1)n，求系统响应，求系统响应

y1(t)； ；

x2(t)?(?1)nu(n)y2(t)12y(n)?[()n?(?)n]u(n)33当系统响应，求系统的输入信号x(n)。

1751?z44H(z)??12?1212121?z?1?z?21?z?11?z?1z?33933解：（a） 收敛域

h(t)?（b）单位脉冲响应

71n52()u(n)?(?)nu(n)123123

（c）

y1(t)?H(?1)zn?27(?1)n16

1?1z14Y2(z)?H(z)X2(z)??1?12?21?z?11?z?z39（d）

1?y2(t)?71n7525()u(n)?(?1)nu(n)?(?)nu(n)?(?1)nu(n)16316434

Y(z)?（e）

11?121?z?11?z?13312?z?1312?z?13?12(1?z?1)(1?z?1)33

1211?z?1?z?22?z?1Y(z)393X(z)???11H(z)(1?1z?1)(1?2z?1)1?z?11?z?13344

111x(n)?2?(?)nu(n)?(?)n?1u(n?1)434

6．序列x?n?是某一LTI系统当输入为s?n?时的输出，该系统由下列差分方 程描述

x?n??s?n??e?8as?n?8?

其中0?a?1。 求系统函数

H1?z??X?z?S?z?

并在z平面上画出它的极点和零点。

我们要用一个LTI系统从x?n?恢复s?n?，求系统函数

H2?z??Y?z?X?z?

使得y?n??s?n?。对H2?z?，指出所有可能的使其因果稳定的收敛域。

（c）求出使其因果稳定的单位脉冲响应h2?n?。

解：（a）方程两边做z变换

X(z)?S(z)?e?8az?8S(z)