百度文库 - 让每个人平等地提升自我
原点到直线的AB距离d?k1?k2，
11k43(k2?1)所以三角形的面积S?ABd?. 22221?k2?3k由S?32?k2?2?k??2， ---12分 4所以直线lAB:2x?y?2?0或lAB:2x?y?2?0. ---13分
19.（2012年房山一模19）已知椭圆G的中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点为
A?0,?1?，离心率为
6． 3（I）求椭圆G的方程；（II）设直线y?kx?m与椭圆相交于不同的两点M,N．当
AM?AN时，求m的取值范围．
x26c2解：（I）依题意可设椭圆方程为 2?y?1 ，则离心率为e??
3aac2222故2?，而b?1，解得a?3， ………4分
3ax2?y2?1. ………5分 故所求椭圆的方程为3（II）设P?xP，yP?、M?xM，yM?、N?xN，yN?，P为弦MN的中点，
?y?kx?m?222(3k?1)x?6mkx?3(m?1)?0， 由?x2 得 2??y?1?3直线与椭圆相交，
????6mk??4?3k2?1??3?m2?1??0?m2?3k2?1 ，① …7分
2xM?xN3mkm，从而yP?kxP?m?2 ??223k?13k?1，
（1）当k?0时
yP?1m?3k2?1 (m?0不满足题目条件) ?kAP???xP3mk?xP?∵AM?AN,?AP?MN，则
m?3k2?11??? ，即 2m?3k2?1， ② …………9分
3mkk2把②代入①得 m?2m ，解得 0?m?2， ……10分
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由②得k?22m?111?0，解得m?．故?m?2 ………11分 322（2）当k?0时
∵直线y?m是平行于x轴的一条直线，
∴?1?m?1 ……13分 综上，求得m的取值范围是?1?m?2． …14分
19．（2012年密云一模理19） 如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）.平行于OM的直线l在y轴上的截距为m(m≠0)，且交椭圆于A，B两不同点.（I） 求椭圆的方程；（II） 求m的取值范围；（III） 求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
x2y2解：（I） 设椭圆的方程为2?2?1(a>b>0)
ab3b??9a?1由题可得?
??1??a2b2?a2?18,b2?2
x2y2??1 . …4分 所求椭圆的方程为
182
（II）∴直线l∥OM且在y轴上的截距为m,∴直线l方程为：y=
1x+m. 3- 12 -
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?x2y2??18?2?1联立?
1?y?x?m?3?消y化简得2x?6mx?9m?18?0 ∵直线l交椭圆于A，B两点， ∴??(6m)?4?2?(9m?18)?0 解得?2?m?2又因为m≠0.
m的取值范围为-2 （III）设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2，则问题只需证明k1?k2?0. 设A(x1,y1),B(x2,y2) 则k1?2222y1?1y?1,k2?2. x1?3x2?39m2?18x?x2??3m,x1?x2?由（2）1 2又y1?11x1?m,y2?x2?m代入 33(y1?1)(x2?3)?(y2?1)(x1?3)整理得 (x1?3)(x2?3)y1x2?x1y2?(x1?x2)?3(y1?y2)?6(x1?3)(x2?3)k1?k2?k1?k2?2x1x2?(m?1)(x1?x2)?3m?63?(x1?3)(x2?3)29m2?18??(m?1)(?3m)?3m?632?(x1?3)(x2?3)3m2?6?3m2?3m?3m?6?(x1?3)(x2?3)?0 ∴k1?k2?0.从而直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形. …13分 - 13 - 百度文库 - 让每个人平等地提升自我 x2y219．（2012年门头沟一模理19）已知椭圆2?2?1(a?b?0)经过点A(2,1)，离心率为 ab2，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M,N．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求2BM?BN的取值范围． 解: （Ⅰ）由离心率为 ??2，可设c?2t,a?2t，则b?2t 2x2y2因为2?2?1(a?b?0)经过点A(2,1) ab所以 413222，解得，所以a?6,b?3 ??1t?224t2t2x2y2??1 ……4分 椭圆方程为63（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?3)， 直线l与椭圆的交点坐标为M(x1,y1),N(x2,y2) ……5分 ?y?k(x?3)?由?x2y2 ?1???63消元整理得：(1?2k)x?12kx?18k?6?0 ………7分 2222??(12k2)2?4(1?2k2)(18k2?6)?0 得 0?k2?1 …8分 12k218k2?6x1?x2?，x1x2?…………9分 221?2k1?2kBM?BN?(x1?3,y1)(x2?3,y2)?(x1?3)(x2?3)?y1y2 …10分 ?(1?k2)[x1x2?3(x1?x2)?9]?(1?k2)?因为0?k?1，所以2???2??331?(1?) 221?2k21?2k31(1?)?3 221?2k所以BM?BN的取值范围是(2,3]．………14分 - 14 -
北京高三模拟考试圆锥曲线解析(选修21)
