与三角形面积有关的最值问题的求解策略
文/代润达
【摘 要】解三角形相关知识点是高考考查的重要内容,也是高考命题的热点部分,而且这部分内容往往易于和其他知识相结合,特别是三角函数、平面几何、解析几何、平面向量相结合,尤其是解三角形中的与面积有关最值问题和范围问题,结合正弦定理、余弦定理,常常利用三角函数的有界限性、基本不等式、函数求值域来求得最值,在高考各种题型中均有出现,如选择题、填空题、解答题,其试题难度属于中高档题,下面通过具体实例加以说明。 【期刊名称】传播力研究 【年(卷),期】2018(000)003 【总页数】3
解三角形相关知识点是高考考查的重要内容，也是高考命题的热点部分，而且这部分内容往往易于和其他知识相结合，特别是三角函数、平面几何、解析几何、平面向量相结合，尤其是解三角形中的与面积有关最值问题和范围问题，结合正弦定理、余弦定理，常常利用三角函数的有界限性、基本不等式、函数求值域来求得最值，在高考各种题型中均有出现，如选择题、填空题、解答题，其试题难度属于中高档题，下面通过具体实例加以说明。
一、与三角函数相结合求最值
解三角形的面积问题，常常给出一些边和角的量，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，
实施边角之间的互化；第三步：求结果，解题的关键是利用三角函数的有界性进而得解。
典例1.如图，在ΔABC中，角A, B, C的对边分别为a,b,c, a=b(sinC+cosC). (1)求角B的大小；
(2)若, D为ΔABC外一点，DB=2, DC=1，求四边形ABCD面积的最大值. 试题分析：(1)先根据正弦定理将条件转化为角的关系sinA=sinB(sinC+cosC),再利用三角形内角关系、诱导公式及两角和正弦公式化简得cosBsinC=sinBsinC,即得，由余弦定理得，将数据代入可得利用配角公式得，最后根据三角形有界性可得四边形ABCD的面积最大值。
【评注】在解三角形中求最值范围问题往往需要转化为角的问题，利用辅助角公式，结合角的范围，利用三角函数的有界性求得最后结果。在边角互化中，注意化简和诱导公式的运用。
典例2. 源:学科在ΔABC中，三边a,b,c所对应的角分别是A, B, C，已知a,b,c成等比数列.
(1)若，求角B的值；
(2)若ΔABC外接圆的面积为4π，求ΔABC面积的取值范围.
试题分析：(1)先将切化弦变形得，利用等比数列性质和正弦定理得sin2B=sinAsinC，进而得，即，由b不是最大边得；(2)易得外接圆半径R=2，利用余弦定理和均值不等式得，即，再利用正弦定理和三角形正弦公式得，利用，进而解得.
(2)∵ΔABC外接圆的面积为4π，∴ΔABC的外接圆的半径R=2， 由余弦定理b2=a2c22accosB，得，又b2=ac，
∴.当且仅当a=c时取等号，又∵B为ΔABC的内角，∴， 由正弦定理，得b=4sinB. ∴ΔABC的面积， ∵
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，当条件中同时出现ab及b2、a2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
二、与基本不等式相结合求最值
有关解斜三角形面积问题，除了上面例题中利用正弦定理和余弦定理进行边化角，将求范围或最值问题，利用三角函数式恒等变形转化为某个角的三角函数式，根据角的范围研究函数值的范围，还有另一种方法是角化边，利用基本不等式求范围或最值。
典例3.在ΔABC中，已知a,b,c分别是角A, B, C的对边，且a=2。 (1)若，求b的值；
(2)若，求ΔABC的面积的最大值。
试题分析：(1)由题意结合正弦定理可得ΔABC是等腰直角三角形，则； (2)结合余弦定理得到面积的表达式，然后利用均值不等式的结论可得ΔABC的面积的最大值是1. 法2：因为， 所以由余弦定理，得
与三角形面积有关的最值问题的求解策略
