三年级奥数解析：用倒推法解应用题
综述：有些应用题解法的思考，是从应用题所叙述事情的最后结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析推理。追根究底，逐步靠拢所求，直到解决问题。这种思考问题的方法，通常我们把它叫做倒推法。
故事为铺垫例题：张二痞平时好吃懒做，还一心想发财，一天，他依在一棵大槐树上正幻想着如何发财，突然来了一位白发苍的老人，看透了他的心事，笑了笑对他说：“小伙子，我知道你在想什么，想发财，我可以帮助。”张二痞高兴得跳起来：“真的！你帮我发了才，一定感谢你。”老人说：“我知道你身上有钱，但不多，这样吧，把你身上的钱往身后树洞里一放，我吹一口气，你的钱就会增加一倍，然后你给我32元作为报酬。”小伙子照样办了，钱果然增长了一倍，他恳求老人再来一次，钱一放，吹口气，又增加一倍，付给老人32元………经过四次之后，张二痞从树洞里取出32元，付给了老人，他变得两手空空的了。十分沮丧。老人把钱还给张二痞说：“小伙子，要发财，还得靠自己勤劳。”说完老人不见。这是怎么一回事？张二痞原来有多少钱？我们用“○”表示小伙子原来的钱数，按照上面说的，就会得到下面的图示：
×2－32
×2－32 （2）
×2－32 （4）
（1）
（3）
从上图就会发现，如果顺着算是很是很难算出原来的钱数，如果我们从最后的结果，倒推回去，就很容易算出原来的钱数，如果给老人32元，最后一次从树洞里取出的钱就是32元，第4次放进去的钱就是32÷2＝16元了，照这样倒推回去，就得到下面的图示：
×2－32
32 28 ×2－32 24 ×2－32 ×2－32 （1）
（2）
（3）
（4）
这样倒着推算的结果是张二痞原来只有30元。
有些问题，从已知条件出发，向所求的问题顺着推算得到答案是很困难的，如果从应用题所叙述的叙述的最后结果出发，倒着向前一步一步分析推算，直到解决问题，解起来就容易得多，这种利用已知条件，按照题目叙述的过程向相反的方向倒着推理思考、解答问题的方法，通常叫做“倒推法”。
例1 小聪问小明：“你今年几岁？”小明回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4。请你算一算，我今年几岁？”
分析与解 分析时可以从最后的结果“4”逐步倒着推。这个数没除以5时应该是多少？没加上6时应该是多少？没乘以7时是多少？没减去8时是多少？这样依次逆推，就可以推出小明的年龄数。
（1）“除以5，正好等于4”。如果不除以5时，此数是：
4×5=20
（2）“加上6”此数是20，如果没加上6时，该数是：
20-6=14
（3）“乘以7”此数是14，如果不乘以7时，这个数是：
14÷7＝2
（4）“我的年龄数减去8”，此数是2，如果不减去8时，我的年龄数是：
2＋8=10
综合列式计算： （4×5-6）÷7+8 =（20-6）÷7+8
＝14÷7＋8 =10（岁）
验算：为了保证解题正确，可按原题的叙述顺序进行列式计算，看最后结果是否“正好等于4”。若等于4，则解题正确。 ［（10-8）×7＋6］÷5 =（2×7+6）÷5 ＝20÷5 =4
答：小明今年10岁。
例2 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原来有多少米？ 分析与解 为了帮助同学们分析数关系，可依照题意画出图1。
从线段图上可以看出：
（1）7+15-10=12（米），就是第一次用去后余下的一半。 （2）12×2=24（米），就是余下的电线长度。 （3）24＋3=27（米），就是全长的一半。 （4）27×2=54（米），就是原来电线的长度。 综合列式计算：
［（7＋15-10）×2＋3］×2 =（12×2+3）×2 =27×2 =54（米）
验算：第一次用去的：54÷2＋3=30（米） 第二次用去的：（54-30）÷2-10=2（米） 剩下的：54-30-2-15=7（米） 答：这捆电线原来有54米。
例3 、一条毛毛虫从幼虫长到成虫，每天长一倍，24天能长到20厘米，当长到5厘米时需要用多少天？
解题关键：毛毛虫每天长一倍的意思是：第二天的身长是第一天的2倍，第三天的身长是第二天的2倍，第四天的身长是第三天的2倍，……，从24天能长到20厘米开始，往前倒推，当长到20÷2＝10厘米时，就是第23天，以此倒推。 解法一：用倒推法解
20÷2÷2＝5（厘米）24－1－1＝22天。 解法二：用列表倒推法解： 出生天数 24 23 22 答长到5厘米时要用22天。
例4：小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的“和”是123。问：正确的结果应是多少？
幼虫身长（厘米） 20 10 5 分析：利用还原法。因为把个位上的5看成9，所以多加了4；又因为把十位上的8看成3，所以少加了50。在用还原法做题时，多加了的4应减去，多减了的50应加上。 解：123-4＋50＝169。 答：正确的结果应是169。
例5：甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？
分析与解：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为 甲组有30＋3＝33（本）， 乙组有30—3＋5＝32（本）， 丙组有30—5＝25（本）。
例6：袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？
分析与解：利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次……为了简洁清楚，可以列表逆推如下：
初始状态 第1次操作 第2次操作 第3次操作 第4次操作 第5次操作 球数/个 (18-1) ×2=34123 (10-1) ×2=18 (6-1) ×2=10 (4-1) ×2=6 (3-1) ×2=4 3
所以原来袋中有34个球。
小学数学三年级奥数教案《奥数解析用倒推法解应用题》
