抛物线及其性质
1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：
图形 参数p几何意义 开口方向 标 准方 程 焦 点位 置 焦 点坐 标 准 线方 程 范 围 对 称轴 顶 点坐 标 离心率 通 径 焦半径A(x1,y1) 焦点弦长AB 右 左 上 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔. 下 y2?2px(p?0) y2??2px(p?0) x2?2py(p?0) X正 X负 Y正 x2??2py(p?0) Y负 p(,0) 2px?? 2(?p,0) 2px? 2p(0,) 2py?? 2p(0,?) 2py? 2x?0,y?R X轴 x?0,y?R X轴 y?0,x?R Y轴 （0,0） y?0,x?R Y轴 e?1 2p AF?x1?p 2AF??x1?p 2AF?y1?p 2AF??y1?p 2(x1?x2)?p ?(x1?x2)?p (y1?y2)?p ?(y1?y2)?p 焦点弦长AB的补充以AB为直径的圆必与准线l相切 若AB的倾斜角为?，AB?2p 2sin?若AB的倾斜角为?，则AB?2p cos2?A(x1,y1) B(x2,y2) p22x1x2? y1y2??p 411AF?BFAB2???? AFBFAF?BFAF?BFp3．抛物线y2?2px(p?0)的几何性质：
(1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在y轴的右侧， 当x的值增大时，|y|也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
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(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：e?1，焦点F(pp,0)，准线x??，焦准距p． 22(4) 焦点弦：抛物线y2?2px(p?0)的焦点弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|?x1?x2?p． 弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，焦点F(2p,0) 2p2(1) 若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2?，
4y1y2??p2。
(2) 若AB是抛物线y2?2px(p?0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则AB?(3) 已知直线AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F ,
2P（α≠0）。 2sin?11AF?BFAB2???? AFBFAF?BFAF?BFp(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，○以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
5．弦长公式：A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上两点，则
AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2?1?k2|x1?x2|?1?1|y1?y2| k2
6.直线与抛物线的位置关系 直线
，抛物线
，
，消y得：
（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时，
Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：y?kx?b 抛物线
① 联立方程法：
，(p?0)
?y?kx?b?k2x2?2(kb?p)x?b2?0 ?2?y?2px 2
设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有??0,以及x1?x2,x1x2，还可进一步求出
y1?y2?kx1?b?kx2?b?k(x1?x2)?2b，y1y2?(kx1?b)(kx2?b)?k2x1x2?kb(x1?x2)?b2
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦长
AB?1?k2x1?x2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?1?k2? a或 AB?1?11?22 y?y?1?(y?y)?4yy?1?k12121222kkax1?x2y?y2， y0?1 22b. 中点M(x0,y0), x0?② 点差法：
设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得
y1?2px1 y2?2px2 将两式相减，可得
(y1?y2)(y1?y2)?2p(x1?x2) y1?y22p?x1?x2y1?y222
2p y1?y2a. 在涉及斜率问题时，kAB?b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，
p， y0y1?y22p2pp， ???x1?x2y1?y22y0y0 即kAB?同理，对于抛物线x2?2py(p?0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦
AB的中点，则有kAB?x1?x22x0x0?? 2p2pp（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，
且不等于零）
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