9.5 椭圆 考纲要求
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单性质． 2．理解数形结合的思想．
3．了解椭圆的简单应用，了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__________，两焦点间的距离叫做椭圆的__________．
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2y2＋＝1(a＞b＞0) a2b2y2x2＋＝1(a＞b＞0) a2b2图形 范围 －a≤x≤a －b≤x≤b －b≤y≤b －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 性质 顶点 B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为____；短轴B1B2的长为____ 焦距 |F1F2|＝____ 离心率 e＝____∈(0,1) a，b，c ________ 的关系 1．已知椭圆＋＝1，长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于( )．
10－mm－2
A．4 B．5 C．7 D．8 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )． 4321A. B. C. D. 5555
1
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则该椭
3
圆方程为( )．
A.C.
＋＝1 144128＋＝1 3236
x2
y2
x2y2
B.D.
＋＝1 3620
x2x2
y2y2
＋＝1 3632
x2y21
4．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )．
2m2
x2y2
A.3
3
B. 2
8
C. 3
2D. 3
5．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝__________；
92
∠F1PF2的大小为__________．
一、椭圆的定义及标准方程
x2y2
x2y2
【例1－1】已知F1，F2是椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，
ab1
若△PF1F2的周长为12，离心率e＝，则此椭圆的标准方程为__________．
2
2222
【例1－2】一动圆与已知圆O1：(x＋3)＋y＝1外切，与圆O2：(x－3)＋y＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
方法提炼
1．在利用椭圆定义解题的时候，一方面要注意到常数2a＞|F1F2|这个条件；另一方面要熟练掌握由椭圆上任一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系．
2．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤
(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
x2y2x2y2
(2)设方程：根据上述判断设方程2＋2＝1(a＞b＞0)或2＋2＝1(a＞b＞0)．
abba(3)找关系：根据已知条件，建立关于a，b，c的方程组．
(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 请做演练巩固提升3 二、椭圆的几何性质
x2y2
【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的
ab四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为__________．
方法提炼
离心率是椭圆的几何性质中考查的重点，求离心率的方法通常是根据条件列出a，c所满足的齐次方程(或不等式)，然后再求离心率的值或取值范围．
请做演练巩固提升4
椭圆主观题的规范解答
x2y23
【典例】 (12分)(2012山东高考)如图，椭圆M：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，
ab2
直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形ABCD的面积为8.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)设直线l：y＝x＋m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个
|PQ|
不同的交点S，T.求的最大值及取得最大值时m的值．
|ST|
规范解答：(1)设椭圆M的半焦距为c，
??c3
由题意得?＝，
a2??4ab＝8，
a2＝b2＋c2，
2
所以a＝2，b＝1.(3分)
因此椭圆M的方程为＋y＝1.(4分)
4
x2
x??＋y2＝1，
(2)由?4
??y＝x＋m2
2
整理得5x＋8mx＋4m－4＝0，
2
22
由Δ＝64m－80(m－1)＝80－16m＞0， 得－5＜m＜5.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
2
8m4m－1
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
55
所以|PQ|＝x1－x2＋y1－y2＝2[x1＋x2－4x1x2]
42
＝25－m(－5＜m＜5)．(7分) 5
线段CD的方程为y＝1(－2≤x≤2)，线段AD的方程为x＝－2(－1≤y≤1)．
①不妨设点S在AD边上，T在CD边上，可知1≤m＜5，S(－2，m－2)，D(－2,1)， 所以|ST|＝2|SD|＝2[1－(m－2)]＝2(3－m)，
2
|PQ|45－m因此＝2，
|ST|53－m令t＝3－m(1≤m＜5)，
则m＝3－t，t∈(3－5，2]，
2
|PQ|45－3－t4所以＝＝
|ST|5t254＝5
2
2
2
2
46－2＋－1
tt?13?25－4?－?＋， ?t4?4
由于t∈(3－5，2]，
1?13＋5?所以∈?，?，
t?24?
134|PQ|255因此当＝，即t＝时，取得最大值，此时m＝.(9分)
t43|ST|53②不妨设点S在AB边上，T在CD边上， 此时－1≤m≤1，
因此|ST|＝2|AD|＝22，
|PQ|22
此时＝5－m，
|ST|5
|PQ|25
所以当m＝0时，取得最大值.(10分)
|ST|5
③不妨设点S在AB边上，T在BC边上，－5＜m≤－1，
|PQ|255
由椭圆和矩形的对称性知的最大值为，此时m＝－.
|ST|53
5|PQ|25
综上所述，当m＝±或m＝0时，最大值为.(12分)
3|ST|5
答题指导：从圆锥曲线定义入手掌握有关知识，注意总结规律和防范细节性的错误．
yb别是F1，F2.若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为( )．
1
A. 4
B.5
5
1
C. 2
D.5－2
1．(2012江西高考)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分
xa22
2．已知椭圆的中心为原点，离心率e＝焦点重合，则此椭圆方程为( )．
A．x＋＝1
4C.
2
32
，且它的一个焦点与抛物线x＝－43y的2
2
y2
B.＋y＝1 4
x2x2
＋＝1 D.＋＝1 164416
3．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则这个椭圆方程为____________________．
4．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围为__________．
x2y2y2
y2
5．设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交
b于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．
(1)求|AB|；
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
2
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1．焦点 焦距
2．2a 2b 2c c＝a－b
基础自测
1．A 解析：椭圆焦点在x轴上， 22
∴a＝10－m，b＝m－2.
又c＝2，∴(10－m)－(m－2)＝4. ∴m＝4.
2．B 解析：由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b.
222222
又c＝a－b，消去b整理得5c＝3a－2ac，即5e＋2e－3＝0，
3
∴e＝或e＝－1(舍去)．
5
c1
3．D 解析：2a＝12，＝，
a32
∴a＝6，c＝2，b＝32， ∴椭圆的方程为＋＝1.
363222
4．B 解析：∵a＝2，b＝m， 2
∴c＝2－m.
c22－m12
∵e＝2＝＝.
a243∴m＝.
2
5．2 120° 解析：由题意知a＝3，b＝2，c＝7. 由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝6. ∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2. 又∵|F1F2|＝27，
1
在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝－，
2
∴∠F1PF2＝120°. 考点探究突破
【例1－1】 ＋＝1 解析：由于△PF1F2的周长为2a＋2c＝12，椭圆的离心率e＝
1612a1
＝， 2
故a＝4，c＝2，b＝12，椭圆的标准方程为＋＝1.
1612
【例1－2】 解：如图所示，设动圆的圆心为C，半径长为r.
2
ca222
x2y2
x2y2cx2y2
2021届高考数学一轮复习 第九章解析几何9.5椭圆教学案 新人教B版
