3.2.3 指数函数与对数函数的关系
自主学习
学习目标
1．理解反函数的定义．
2．知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，a≠1)．
3．通过描点法作出指数函数、对数函数的图象，掌握它们的性质．
自学导引 1．反函数
(1)互为反函数的概念
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的____________，而把这个函数的自变量作为新的函数的____________．称这两个函数互为反函数．
(2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数通常用____________表示．
2．指数函数与对数函数的关系
(1)指数函数y＝ax与对数函数y＝loga x____________.
(2)指数函数y＝ax与对数函数y＝loga x的图象关于________对称．
对点讲练
知识点一 求函数的反函数问题
例1 求下列函数的反函数．
?1?x
(1)y＝?4?；
??
(2)y＝log2x，x∈(1,8)；
(3)y＝x2＋1，x∈(0，＋∞)．
规律方法 求函数y＝f(x)的反函数的步骤为： (1)由y＝f(x)解出x＝f－1(y)； (2)由函数y＝f(x)求y的范围；
(3)x、y互换得y＝f－1(x)，注明定义域，即函数y＝f(x)的值域． 变式迁移1 求下列函数的反函数．
1
(1)y＝log2x； (2)y＝(3)x； (3)y＝5x＋1.
知识点二 互为反函数的图象间的关系
例2 设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
规律方法 根据指数函数与对数函数的图象的关系，利用数形结合、等价转化的思想可较为简便地解决有关方程的问题．
变式迁移2 本例中若将题干中的两个方程分别改为x＋lg x＝3和x＋10x＝3，结果怎样？
知识点三 指数函数与对数函数图象及性质的综合应用
11b11c
a
例3 设a，b，c均为正数，且2＝log2a，(2)＝log2b，(2)＝log2c，则( )
A．a 规律方法 比较数的大小问题，方法灵活，就本题而言，把方程的解看作两函数图象交点的横坐标，从而利用数形结合比较简单，若几个数在不同的范围内，亦可通过求这些数的范围来比较大小． 变式迁移3 三个数60.7,0.76，log0.76的大小关系为( ) A．0.76 学习本节内容要发现指数函数与对数函数的对立统一关系，能正确比较指数函数和对数函数的性质，能以它们为例对反函数进行解释和直观理解，掌握互为反函数的两个函数图象关于y＝x对称．在解题中反函数的某个函数值，常转化为求原函数的x值，注意转化思想和数形结合、分类讨论思想的应用． 求反函数的一般步骤： (1)将y＝f(x)看作方程，解出x＝f－1(y)； (2)将x、y对称，得y＝f－1(x)； (3)写出反函数的定义域(即原函数的值域). 课时作业 一、选择题 1．函数f(x)＝3x (0 C．(0,1) D．[9，＋∞) 2．下列函数中，反函数是其自身的函数为( ) A．f(x)＝x2，x∈[0，＋∞) B．f(x)＝x3，x∈(－∞，＋∞) C．f(x)＝ex，x∈(－∞，＋∞) 1 D．f(x)＝x，x∈(0，＋∞) 3．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点( ) A．(1,1) B．(1,5) C．(5,1) D．(5,5) 4．已知f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(3)g(3)<0，则f(x)与g(x)在同一平面直角坐标系内的图象可能是( ) 5．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(27)＝3，则f－1(log92)的值是( ) 2 A．log32 B.2 C.2 D．2 二、填空题 6．函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1______Δy2(填“>”，“＝”或“<”) 1 7．函数y＝3＋log2x(x≥1)的反函数的定义域为________． 1x 8．已知函数f(x)＝(2)的图象与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)，则关于h(x)有下列命题： ①h(x)的图象关于原点对称； ②h(x)为偶函数； ③h(x)的最小值为0. 其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的命题的序号都填上) 三、解答题 1 9．已知y＝2x＋a与函数y＝3－bx互为反函数，求a，b的值． 【探究驿站】 10．已知f(x)＝lg(ax－bx)(a>1>b>0)． (1)求y＝f(x)的定义域； (2)在函数图象上是否存在不同的两点，使过两点的直线平行于x轴． 3．2.3 指数函数与对数函数的关系 答案 自学导引 1．(1)自变量 因变量 (2)y＝f－1(x) 2．(1)互为反函数 (2)y＝x 对点讲练 ?1? 例1 解 (1)由y＝?4?x， ?? 1 得x＝log4 y，且y>0， 11－∴f(x)＝log4x，x∈(0，＋∞)． (2)由y＝log2x，得x＝2y，又x∈(1,8)，
指数函数与对数函数的关系教案
