学奥数，这里总有一本适合你！
华东师范大学出版社
2011年全国高中数学联赛江西省预赛
2011年全国高中数学联赛江西省预赛于2011年9月25日在江西省的11个设区市同时进行，全省有一万两千余名学生参加了这次选拔赛，江西省预赛试题结构及命题模式近年来基本保持稳定；全省各地按预赛人数10：1的比例，选出约一千两百余人集中到南昌市参加10月16日的全国高中数学联赛.
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试 题
一、填空题（每小题10分，共80分）
1、2011是这样的一个四位数，它的各位数字之和为4；像这样各位数字之和为4的
四位数总共有 个．
2、设数列?an?满足:a1?1,a2?2,且对于其中任三个连续项an?1,an,an?1,都
有:an?(n?1)an?1?(n?1)an?12n.则通项an? ．
3、以抛物线y?x2上的一点M?1,1?为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形?MAB与?MCD，则线段AB与CD的交点E的坐标为 ．
4、设x,y,z?R,x?y?z?1，则函数f(x,y,z)?xyz的最大值是 ．
?235、sin60sin420sin660sin780? ．
6、正三棱锥D?ABC的底面边长为4，侧棱长为8，过点A作与侧棱DB,DC都相
交的截面?AEF，那么，?AEF周长的最小值是 ．
7、满足x2?7y2?2011的一组正整数(x,y)? ．
20118、用S(n)表示正整数n的各位数字之和，则?S(n)? ．
n?1二、解答题（共3题，合计70分）
9、（20
0分）、设A?B?C?180，且满足：
sinA?siBn?cosA?coBs?sCin?1，求 coCscos2A?cos2B?cos2CcosA?cosB?cosC的值．
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10、（25分）如图，?ABC的内心为I，M,N分别是AB,AC
A的中点，AB?AC，内切圆?I分别与边BC,CA相切于D,E；证明：MN,BI,DE三线共点．
BMNFIDEC（25分）在电脑屏幕上给出一个正2011边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；11、
某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的a个顶点（其中a是小于2011的一个固
定的正整数），一按鼠标键，将会使这a个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；
(1)、证明：如果a为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，
也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；
(2)、当a为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？
证明你的结论．
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本文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联赛备考手册（2012）（预赛试题集锦）》，该书收录了2011年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人员大多为各省市数学会成员，试题在遵循现行教学大纲，体现新课标精神的同时，在方法的要求上有所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工作，试题对高考有一定的指导作用，本书架起了联赛与高考的桥梁，是一本不可或缺的备考手册。
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解 答
1、20．提示：这种四位数x1x2x3x4的个数，就是不定方程x1?x2?x3?x4?4满足
条件x1?1，x2,x3,x4?0的整解的个数；即y1?x2?x3?x4?3的非负整解个数，其中（注：也可y1?x1?1，易知这种解有C3?4?1?C6?20个，即总共有20个这样的四位数．直接列举．）
2、3?4?132n． 提示：由条件得，
2nan?(n?1)an?1?(n?1)an?1，
所以
(n?1)(an?1?an)?(n?1)(an?an?1)，
故
an?1?anan?an?1?n?1n?1，而a2?a1?1；
an?an?1a3?a2a2?a1an?1?an??an?1?anan?an?1an?1?an?2?????(a2?a1)
n?1n?2n?31??????1n?1nn?132n(n?1)?；
于是
an?an?1?2n(n?1)?2(1n?1?1n)；
由此得
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)?a1?2(1??3?2n1n)?1.
2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案 - 图文
