∴∠BAD＝∠CAD， ∴＝， ∴OD⊥BC， ∵DF∥BC， ∴OD⊥DF， ∴DF与⊙O相切；
（2）∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C， ∴△ABD∽△AEC， ∴∴∴BD＝
， ＝
， ．
【点评】本题主要考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、切线的判定，证得∠BAD＝∠DAC是解题的关键．
23．（8分）渠县賨人谷是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法
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测出了尾部C看头顶B的仰角为40°，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60°，CB＝5m，CD＝2.7m．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84.
≈1.41，
≈1.73）
【分析】作BF⊥CE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可． 【解答】解：作BF⊥CE于F，
在Rt△BFC中，BF＝BC?sin∠BCF≈3.20， CF＝BC?cos∠BCF≈3.85， 在Rt△ADE中，DE＝
＝
＝
≈1.73，
∴BH＝BF﹣HF＝0.20，AH＝EF＝CD+DE﹣CF＝0.58， 由勾股定理得，AB＝答：AB的长约为0.6m．
≈0.6（m），
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【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 24．（11分）箭头四角形 模型规律
如图1，延长CO交AB于点D，则∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．
因为凹四边形ABOC形似箭头，其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用
（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ 2α ． ②如图3，∠ABE、∠ACE的2等分线（即角平分线）BF、CF交于点F，已知∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，则∠BFC＝ 85° ． ③如图4，BOi、COi分别为∠ABO、∠ACO的2019等分线（i＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2018．已知∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，则∠BO1000C＝ （
m+n） 度．
（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD．求证：四
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边形OBCD是菱形．
【分析】（1）①由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α可得答案；
②由∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF知∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，从而得∠F＝
，代入计算可得；
（∠ABO+∠
③由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝
ACO）+∠BO1000C，∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC知∠ABO+∠ACO＝∠BAC），代入∠BOC＝＝
×
（∠BO1000C﹣
（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC
（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，据此得出∠（∠BOC+
∠BAC）＝
∠BOC+
∠BAC，
BO1000C＝
代入可得答案；
（2）由∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，结合∠BCD＝2∠BAD得∠BCD＝∠BOD，
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连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可． 【解答】解：（1）①如图2，
在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α， 在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α； ②如图3，
∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF， ∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F， ∴∠F＝
，
∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°， ∴∠F＝85°； ③如图3，
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2019年四川省达州市中考数学试卷
