..
26．定义：如果代数式a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数），满足a1+a2=0，b1+b2=0，c1+c2=0，则称两个代数式互为”牛郎织女式” （1）写出﹣x2+2x﹣3的“牛郎织女式”；
（2）若﹣x2﹣18mx﹣3与x2﹣2nx+n互为“牛郎织女式”，求（mn）2015的值；
（3）无论x取何值时，代数式x2﹣2x+a的值总大于其“牛郎织女式”的值，求a的取值范围． 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【分析】（1）根据定义即可求出﹣x2+2x﹣3的“牛郎织女式”； （2）根据定义求出m与n的值，代入原式求值即可； （3）利用作差法即可求出a的范围．
【解答】解：（1）设﹣x2+2x﹣3的“牛郎织女式”为ax2+bx+c 由题意可知：a=1，b=﹣2，c=3，
∴﹣x2+2x﹣3的“牛郎织女式”为x2﹣2x+3； （2）由题意可知：﹣18m﹣2n=0，﹣3+n=0， 解得：m=﹣，n=3， ∴原式=（﹣1）2015=﹣1；
（3）x2﹣2x+a的“牛郎织女式”为﹣x2+2x﹣a，
∴由题意可知：x2﹣2x+a＞﹣x2+2x﹣a对于任何x都成立， ∴x2﹣2x+a﹣（﹣x2+2x﹣a）＞0， ∴a＞﹣x2+2x，
∴a＞﹣（x﹣1）2+1对于任何的x都成立， ∵﹣（x﹣1）2+1的最大值为1， ∴a＞1，
27．某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：
..
..
y=．
（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）
（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）天每只粽子至少应提价几元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）把y=420代入y=30x+120，解方程即可求得；
（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；
（3）根据（2）得出m+1=13，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设李明第n天生产的粽子数量为420只， 由题意可知：30n+120=420， 解得n=10．
答：第10天生产的粽子数量为420只． （2）由图象得，当0≤x≤9时，p=4.1； 当9≤x≤15时，设P=kx+b， 把点（9，4.1），（15，4.7）代入得，解得
，
，
∴p=0.1x+3.2，
①0≤x≤5时，w=（6﹣4.1）×54x=102.6x，当x=5时，w最大=513（元）； ②5＜x≤9时，w=（6﹣4.1）×（30x+120）=57x+228， ∵x是整数，
..
..
∴当x=9时，w最大=741（元）；
③9＜x≤15时，w=（6﹣0.1x﹣3.2）×（30x+120）=﹣3x2+72x+336， ∵a=﹣3＜0， ∴当x=﹣
=12时，w最大=768（元）；
综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768． （3）由（2）可知m=12，m+1=13，
设第13天提价a元，由题意得，w13=（6+a﹣p）（30x+120）=510（a+1.5）， ∴510（a+1.5）﹣768≥48，解得a≥0.1． 答：第13天每只粽子至少应提价0.1元．
28．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=的对称点，连接AF、BF．
，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB
（1）求AE和BE的长；
（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．
（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由． 【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；
（2）依题意画出图形，如答图2所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m的值；
（3）在旋转过程中，等腰△DPQ有4种情形，如答图3所示，对于各种情形分别进行计算． 【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB=5，AD=由勾股定理得：BD=
=
=
..
， ．
..
∵S△ABD=BD?AE=AB?AD，
∴AE===4．
在Rt△ABE中，AB=5，AE=4，由勾股定理得：BE=3．
（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如答图2所示： 由对称点性质可知，∠1=∠2．
由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′=3．
①当点F′落在AB上时， ∵AB∥A′B′， ∴∠3=∠4， ∴∠3=∠2，
∴BB′=B′F′=3，即m=3； ②当点F′落在AD上时， ∵AB∥A′B′， ∴∠6=∠2，
∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6， 又易知A′B′⊥AD， ∴△B′F′D为等腰三角形， ∴B′D=B′F′=3， ∴BB′=BD﹣B′D=
﹣3=，即m=．
（3）存在．理由如下：
..
..
在旋转过程中，等腰△DPQ依次有以下4种情形：
①如答图3﹣1所示，点Q落在BD延长线上，且PD=DQ，易知∠2=2∠Q，
∵∠1=∠3+∠Q，∠1=∠2， ∴∠3=∠Q， ∴A′Q=A′B=5，
∴F′Q=F′A′+A′Q=4+5=9．
在Rt△BF′Q中，由勾股定理得：BQ=∴DQ=BQ﹣BD=
﹣
；
=
=
．
②如答图3﹣2所示，点Q落在BD上，且PQ=DQ，易知∠2=∠P，
∵∠1=∠2， ∴∠1=∠P，
∴BA′∥PD，则此时点A′落在BC边上． ∵∠3=∠2， ∴∠3=∠1， ∴BQ=A′Q，
∴F′Q=F′A′﹣A′Q=4﹣BQ．
在Rt△BQF′中，由勾股定理得：BF′2+F′Q2=BQ2， 即：32+（4﹣BQ）2=BQ2， 解得：BQ=
，
﹣
=
；
∴DQ=BD﹣BQ=
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2020届中考复习扬州市XX学校中考数学二模试题（有配套答案）
