（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．
【答案】（1）
（2）最小面积是
（2）解法1：设AM＝x，0＜x＜3．
在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9， 所以OM＝
，所以cos∠AOM＝
＝
，
在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)
＝cos∠AOM＝．
由＝，得ON＝··
＝
·
．
所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝·＝
，0＜x＜3．
令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则S△OMN＝≥
·(2
－9)＝，即t＝3
． ，x＝6－3
＝ (t－9＋)
当且仅当t＝时等号成立，S△OMN的最小值为．
所以M的位置为距离A点6－3
km2．
解法2：设∠AOM＝θ，0＜θ＜
km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是
在△OAM中，由＝，得OM＝．
在△OAN中，由＝，得ON＝＝．
所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···
＝＝＝
＝
当2θ＋＝，即θ＝
＝，0＜θ＜．
．[]
时，S△OMN的最小值为
所以应设计∠AOM＝，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2．
15．在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC内种植花卉.已知AB长为1千米，设角C??,AC边长为BC边长的a?a?1?倍，三角形ABC的面积为S（千米
2）.
试用?和a表示S；
（2）若恰好当??60o时，S取得最大值，求a的值.
【答案】（1）S?1asin? （2）a?2?3 ?221?a?2acos?
21acos?1?a?2acos??2asin??asin?（2）因为S??? ， 2221?a?2acos?????221acos?1?a?2a ， ??21?a2?2acos?2????2a, 21?a2a且当???0时， cos?0?， S??0， 21?a令S??0 ，得cos?0?
2020年新高考数学复习实际问题中的解三角形问题专题解析
