数学分析考研试题集锦

数学分析考研试题集锦

一. 连续性问题

1 ．设f(x)是[a,b]上的连续函数,f(a)<0,f(b)>0,求证:存在c(a,b),使f(c)=0,且对任何

,有f(x)>0．(华东理工大学2004年)

二.无穷级数与函数列

1．设在[0,1]上

一致收敛于f(x),且每个

有界，求证：

(1) 极限函数f(x)在[0,1]上有界；

(2) 函数列

在[0,1]上一致有界．(华东理工大学2004年)

2. 设{fn(x)}是定义在(-,+)上的可导函数列,且存在常数M>0,对所有的n和x(-,+),有

假设对任意x(-,+),有

则g(x)在(-,+)上连续.

证明:对任意x0 (-,+),有

对任意>0,由于对任意x(-,+),有 所以存在正整数N,当n>N时,有

由微分中值定理,

其中在x与x0之间,故取

当|x-x0|<时,有

故当|x-x0|<时

即f(x)在x0连续,由x0的任意性,知f(x)在(-,+)上连续.

三．连续性

１．设Ｉ为一区间，f(x)在Ｉ上一致连续，若对任意xI,f(x)0,试证：

在Ｉ上一致连续．(华东理工大学200６年)

四．定积分

１．

2．设

有二阶连续偏导数，

证明：

证明：设

，则

所以

由于

所以

（华中科技大学）

3．设

讨论积分

的敛散性.

解: