1999年华南师范大学数学分析
一、计算
1、已知极限lim??→0?????sin??=2,其中α，β为非零常数，求α，β的值；
2、求积分 ln?(??+ 1+??2)????;
3、函数u=u(x)由方程组u=f(x,y,z),g(x,y,z)=0,h(x,y,z)=0所确定，求 ????????
0
????2???? ??+3??4、求积分I= ∑二、
???? ??2+??2+(??+??)2其中a>0,∑是以原点为中心，a为半径的上半球面。
，求证：lim??→∞??1、设数列{????}收敛且????>0 ??=1,2,·······????=lim??→∞????； ??1??2· ，且lim??→∞2、若????>0 ??=1,2,····3、求lim??→∞????+1????+1????
存在，求证：lim??→∞?? ????=lim??→∞
????+1????
；
。
??2
??2
?? ??！
三．计算函数z=1? ??2+??2 在点P ??2
，2?? 沿曲线??2+??2=1在此点的内法线方向上的导数。 2??2??2
四、设f（x）在[a,b]上具有二阶连续导数，且f（a）=f（b）及|f’’(x)|≤M对x? a,b ,证明对一切x∈ a,b 有|f’(x)|≤
，(?????)。
，五、若???? ??,?? 在点 ??0，??0 处存在，???? ??,?? 在点 ??0，??0 处连续，证明?? ??,?? 在 ??0，??0 处可微。
n2六、证明∑∞n=1x(1?x)在 0,1 上一致收敛。
七、设C为位于平面xcos??+??cos??+??cos???1=0(cos??,cos??,cos??为平面之法线的方向余弦）上并包
??cos???ycos?? ????+ ??cos?????cos?? ????+ ??cos?????cos?? ????,围面积为S的按段光滑封闭曲线，求 ??其中C是依正方向进行的。
∞sin??2
八、求证广义积分 0????????在|p|<1上收敛。
2000年华南师范大点学数学分析
一、填空题（3*10=30分） 1.设an?(?1)?sinnn?,n?1,2,?,则liman?_______,liman?_______；
n??n??42.设f(x)???x, x为有理数 x?R,则f(x)在x?____处连续；??x, x为无理数nx3.limdx?_____; ?0n??1?x14.lim(sinx?cosx)?_________;
x?01x5.方程x?3x?c?0(c为实常数)在区间[0,1]中至多有_________个根； 6.设In?2dx_______;?(x2?a2)n(n?1,n为自然数)，写出In?1的递推公式In?1?__________sinx?cosy07.设
u(x,y)??f(t)dt,f(t)是可微函数，则du?___________;
8.设f(x,y)在P0(2,0)处可微，且在P0处指向P1(2,2)的方向导数是1，指向原点的方向导数是-3，则在P0处指向P2(1,2)的方向导数是_____________;
9.写出函数在x=0处的幂级数展开式：sinx?________________________; 10.曲线x?acost,y?asint,0?t?2?的弧长s=___________________.
二、(12分)设f(x)在[0,+∞)上连续，limf(x)存在，证明：f(x)在[0,+∞)上可取得最大值或最小值.
x???233三、(12分)设函数z=z(x,y),由方程x?y?z?yf()所确定，其中f是可微函数，试证：
222zy(x2?y2?z2)?z?z?2xy?2xz. ?x?y12n????).
n2?n?1n2?n?2n2?2nlnblna四、（12分）求极限：lim(n??五、（12分）已知a,b为实数，且1 23xdydz?ydzdx?zdxdy.其中S是球面x2?y2?z2?1的外侧. ??S七、(10分)设un(x)?0,在[a,b]上连续，n=1,2,…,[a,b]上一致收敛于f(x). ?u(x)在[a,b]上收敛于连续函数f(x),证明：?u(x)在 nnn?1n?1??2002年华南师范大学数学分析 一、 求极限：（1）lim??→∞(??+??2+?+????),(??>1) (2)lim??→0(1+??2) ?? 二、证明：若f(x)在[a,+∞)上连续，且lim??→∞f x =A(有限数)，则f(x)在[a,+∞)上一致力连续。 三、求f(x)=lnx在x=1处的泰勒公式。 四、证明：函数列{????(??)}在[a,b]上一致收敛于f(x)的充要条件是lim??→∞??≤??≤?? ???? ?? ??? ?? =0 ?????? 1 1 1 1 五、求函数f(x,y)=??2+??2在条件x+y-1=0下的条件极值。 六、C是平面上任一条无重点、光滑的包含原点的封闭曲线，其方向是逆时针方向，计算 ?? 七、求由球面??2+??2+??2=??2和圆柱面??2+??2=八、计算I= 0 +∞??????????????? ?? ??24 ???????????????2+??2 所围成空间区域的体积。 ????,其中0 九、设f(x)在有界闭区间[a,b]上连续，其值域为[c,d],则对任意入??∈ ??,?? ,??=1,2,·····，必有子列{入??}和 ? ??0∈[??,??],使得lim?→∞入??=??(??0)。 ? ??十、设????>0,且????递减趋于零，证明∑∞??=1(?1) ??1+??2+········+???? ?? 收敛 2003年华南师范大学数学分析 一、(12分)求极限lim(n??111????). 1?33?5(2n?1)(2n?1)二、(12分)设D??(x,y):?1?x?1,?1?y?1?,求积分???Dy?x2dxdy. 三、(12分)证明 nx在[a,b]上一致收敛(其中，0 nx在(0,+∞)上连续. ?331?nxn?1?四、(12分)求第二型曲线积分 2313?ydx?xdy，其中，L:x2?2y2?1，取逆时针方向。 ?L33x?ax???五、(12分)f(x)是(a,+∞)上的连续函数，求证：如果lim?f(x)和limf(x)都存在(有限)，那么，f(x)在(a,+∞)上一致连续。问：逆命题是否成立？如成立，请证明之；否则，请举反例。 六、(15分)设 ???af(x,y)dx关于y?[c,d]一致收敛，而且，对于每个固定的y?[c,d]，f(x,y)关于x在[a,+ ∞)上单调减少。求证：当x???时，函数xf(x,y)和f(x,y)关于y?[c,d]一致地收敛于0. 2004年华南师范大学数学分析 1.(12分)设an?(1?),n?1,2,?,证明数列?an?严格单调增加且收敛。 n1n1?2?xsin, x?02.(12分)求函数f(x)??的导函数，并讨论导函数的连续性。 x? x?0?0, [2?(?1)n]n13.(12分)求幂级数?(x?)n的收敛半径和收敛域。 n2n?1?4.(12分)求函数f(x)???1, ???x?0的Fourier级数，并由此求数列级数： 0?x???0, 1111?????(?1)n??的和。 352n?15.(12分)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(0 ?f?(?)?f?(?)(b?a)。 lnb?lna6.(15分)Br(M0)是以M0?(x0,y0,z0)为心，r为半径的球，r为半径的球面，f(x,y,z)?Br(M0)是以M0为心，在R3上连续，证明： df(x,y,z)dxdydz???f(x,y,z)dS drBr???(M0)?Br(M0) 2005年华南师范大学数学分析 一、计算题（4*8=32分） 1.求limcos(sinx)?cosx. x?0sin3x2.求?sec3xdx. x2y23.求lim. (x,y)?(0,0)x2?y24.求?xdy?ydx.其中L：x2?(y?1)2?R2,0?R?1,取逆时针方向。 22L4x?y二、证明题（3*9=27分） 1.证明：对?a,b?R,ea?b2?1a(e?eb)； 22.设liman?0，证明：limn??a1?a2???an?0； n??nf(x)?limf(x)???，证明:f(x)在(0,1)内取到最大值. 3.设f(x)在(0,1)上连续，lim??x?0x?1三、讨论题（2*8=16分） 111111.讨论级数1?1?1?1?1?1???233243??1(2n?1)12?1(2n)13??的敛散性。 52632.设??0,??0，讨论?0sinx?dx的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）。 ?x2006年华南师范大学数学分析 1.(15分)假设limf(x3)存在，试证明：limf(x)?limf(x3). x?0x?0x?02.(15分)假设f(x)在[a,b]上为单调函数，试证明：f(x)在[a,b]上可积。 3.(15分)假设un(x)(n?1,2,?)在[a,b]上连续，级数?un(x)在(a,b)上一致收敛，试证明： n?1?（i）?un(a),?un(b)收敛； (ii)?un(x)在[a,b]上一致收敛。 n?1n?1n?1????x2y (x2?y2?0)?224.(15分)假设f(x,y)??x?y,试证明:f(x,y)在(0,0)连续，且偏导数存在，但此 ?0 (x2?y2?0)?点不可微。 5.(15分)计算曲面积分I???x2dydz?y2dzdx?z2dxdy，其中s为锥面x2?y2?z2(0?z?h)所 s示部分，方向为外侧。 2007年华南师范大学数学分析 ?n?1.(15分)证明数列?n?收敛，并求其极限. ?2?2.(15分)f(x)在x=0的邻域U(0)内有定义，且f(x)=f(-x). (1).(5分)如果f(x)在U(0)可导，证明f?(0)?0； (2).(10分)只假定f?(0)存在，证明f?(0)?0. ?3.(15分)求积分：?2sinnxdx,n?0,1,2,?. 04.(15分)判别函数列fn(x)?x,x?(??,??)的一致收敛性. 1?n2x2?z?2z5.(15分)设x?y?z?1，求和2. ?x?x222
华南师范大学1999-2000,2002-2011,2013-2014年数学分析考研真题
