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人教版高中数学必修五
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习【巩固练习】
基本不等式
【学习目标】
1. 理解基本不等式的内容及其证明.
2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题. 【要点梳理】 要点一：基本不等式 1.对公式a?b?2ab及
22a?b?ab的理解. 2（1）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a?b时取等号”. 2.由公式a?b?2ab和①
22a?b?ab可以引申出常用的常用结论 2ba； ??2（a,b同号）
abba②???2（a,b异号）； aba?ba2?b2a?b2a2?b2?ab??(a?0,b?0)或ab?(③)?(a?0,b?0) 112222?ab2a2?b2a?ba?b2要点诠释： a?b?2ab可以变形为：ab?，?ab可以变形为：ab?().
22222要点二：基本不等式ab≤方法一：几何面积法
a+b的证明 2如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形.
设直角三角形的两条直角边长为a、b，那么正方形的边长为a2?b2.这样，4个直角三角形的面积
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的和是2ab，正方形ABCD的面积为a?b.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：
22a2?b2?2ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a?b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2?b2?2ab.
得到结论：如果a,b?R，那么a?b?2ab（当且仅当a?b时取等号“=”） 特别的，如果a?0，b?0,我们用a、b分别代替a、b，可得： 如果a?0，b?0,则a?b?2ab，（当且仅当a?b时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果a?0，b?0,ab?方法二：代数法
∵a?b?2ab?(a?b)?0，
当a?b时，(a?b)?0； 当a?b时，(a?b)?0.
所以(a?b)?2ab，（当且仅当a?b时取等号“=”）. 要点诠释：
特别的，如果a?0，b?0,我们用a、b分别代替a、b，可得： 如果a?0，b?0,则a?b?2ab，（当且仅当a?b时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：
2222222+22a?b，（当且仅当a?b时取等号“=”） 2a?b，（当且仅当a?b时取等号“=”）. 2a?b要点三：基本不等式ab?的几何意义
2如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC?a,BC?b，过点C作DC?AB交圆于点D，
如果a?0，b?0,ab?连接AD、BD.
易证Rt?ACD~Rt?DCB，那么CD?CA?CB，即CD?2ab.
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这个圆的半径为时，等号成立.
要点诠释： 1.在数学中，我们称
a?ba?b，它大于或等于CD，即其中当且仅当点C与圆心重合，即a?b?ab，22a?b为a,b的算术平均数，称ab为a,b的几何平均数. 因此基本不等式可叙2述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
2.如果把
a?b看作是正数a,b的等差中项，ab看作是正数a,b的等比中项，那么基本不等式可以2叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
要点四：用基本不等式ab?a?b求最大（小）值 2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释：
a?b?ab成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者2(?3)?(?2)22要求a，b都是正数.如(?3)?(?2)?2?(?3)?(?2)是成立的，而?2(?3)?(?2)是不成立21．两个不等式：a?b?2ab与
22的.
2．两个不等式：a?b?2ab与号这句话的含义要有正确的理解.
当a=b取等号，其含义是a?b?仅当a=b取等号，其含义是综合上述两条，a=b是
22a?b?ab都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”2a?b?ab； 2a?b?ab?a?b. 2a?b?ab的充要条件. 23．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.
4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值.
5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：
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①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案. 【典型例题】
类型一：对公式a?b?2ab及
22a?b?ab的理解 2例1. a?0，b?0，给出下列推导，其中正确的有 . （1）a?b?1的最小值为22； ab（2）(a?b)(?)的最小值为4； （3）a?1a1b1的最小值为?2. a?4【思路点拨】
利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵a?0，b?0，∴a?b?等号）.
（2）∵a?0，b?0，∴(a?b)(?)?2ab?211?2ab??22（当且仅当a?b?时取
2abab1a1b2?4（当且仅当a?b时取等号）. ab（3）∵a?0，∴a?（当且仅当a?4?111?a?4??4?2(a?4)??4??2， a?4a?4a?41即a?4?1，a??3时取等号） a?41∵a?0，与a??3矛盾，∴上式不能取等号，即a???2
a?4【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.
举一反三：
【变式1】下列结论正确的是( ) A．当x>0且x≠1时，lgx?B．当x>0时，x?1?2 lgx1?2 x资料来源于网络 仅供免费交流使用
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1的最小值为2 x1D．当0 xC．当x≥2时，x?【答案】 B a?x2【变式2】（2016 上海模拟）已知函数f(x)?，（a＞0），x∈（0，b），则下列判断正确的是（ ） x A．当b?a时，f（x）的最小值为2a a时，f（x）的最小值为2a B．当0?b?a?b2C．当0?b?a时，f（x）的最小值为 bD．对任意的b＞0，f（x）的最小值均为2a a?x2a?x?， 【答案】∵f(x)?xx∴当b?a时，f(x)?2a， 当且仅当x?当0?b?a，即x?a时取等号； xa，y=f（x）在（0，b）上单调递减， a?b2∴f(x)?，故f（x）不存在最小值； b故选A。 类型二：利用基本不等式证明不等式 例2. 已知a、b、c都是正数，求证：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc 【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。 【解析】∵a、b、c都是正数 ∴a?b?2ab?0 （当且仅当a?b时，取等号） b?c?2bc?0 （当且仅当b?c时，取等号） c?a?2ca?0 （当且仅当c?a时，取等号） 资料来源于网络 仅供免费交流使用
人教版高中数学【必修五】[知识点整理及重点题型梳理]_基本不等式_提高
