函数的单调性和奇偶性 一、学习目标
1.理解函数的单调性概念，能根据函数单调性定义证明函数在给定区间上的增减性。
2.会判定函数的单调性，会求单调区间。 3.准确掌握一次函数、二次函数的单调性。
4.解奇函数、偶函数的概念及图像物征，能判断某些函数的奇偶性； 二、例题分析
第一阶梯
[例1]什么叫函数f (x)在区间[a,b]上是增函数（减函数）？ [解]
设任意的x1,x2∈[a,b],当x1 设任意的x1，x2∈[a,b],当x1 1.f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这一区间具有（严格的）单调性， 这一区间叫做f(x)的单调区间。 2.函数的单调性相对于区间而言，这个区间当然是函数定义域的子集。 例如，是 的定义域A=（－∞，0）∪（0，+∞）,那么，下列说法正确的 （把正确说法的代号都填上） ①f(x)在其定义域A上是增函数 ②f(x)是单调函数 ③f(x)在区间（－∞，0）上是增函数 ④f(x)在区间（0，+∞）上是减函数 ⑤f(x)的单调增区间有（－∞，0），（0，+∞） 答：正确说法是③、⑤，其它说法都是错误的，我们着重论证说法①是错误的：设x1=1,x2=1,则x1, x2∈A,但 [例2]怎样根据函数单调性定义，证明函数的增减性？试举一例。 [解]根据单调性定义证明函数增减性的步骤是： （1）设x1,x2:即设x1、x2是该区间上的任意二值，且x1 （2）比较f(x1)和f(x2)的大小：通常采用作差法，即作差f(x1)-f(x2)，变形，定号。 （也可以用“作商”等其它比较法） （3）作出结论：根据单调性定义，作出增函数或减函数的结论。 例：根据函数单调性定义证明 证明：设0 在区间（0，2]上是减函数。 由 ； 由 ∴由①得，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)。 ∴ 在区间（0，2）上是减函数。 [例3]怎样判别函数的单调性？举例说明。 【解】目前应该学会判断单调性的三个判别法： 1、定义法：根据增函数、减函数的定义来判别。例如，判别函数 的单调性： 根据定义，先取x2>x1>0，作差 这里的△f是函数改变量f(x2)－f(x1)的记号。函数f(x)的单调性由△f的符号来确定，而△f的符号 来确定， △f的符号由因式x1x2—4来确定：显然x=2是分界点，当x1，x2∈（0，2）时，x1x2－4<0，从 而△f<0， 即f(x2) △f>0，即f(x2)>f(x1)， 所以f(x)在[2，+∞]上是增函数。这就是“定义法”，我们根据增减性定义，求 得了： 函数区间。 的单调区间：（0，2）是减区间，[2，+∞]是增
函数的单调性和奇偶性
