向量知识点总结
一、教学要求：
1. 理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义，了解用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。
2. 理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式。
3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。 二、知识串讲：
平面向量及其运算
（一）向量的基本运算 1. 有关概念
（1）向量——既有大小又有方向的量叫做向量。 常用有向线段表示向量
??方向向量二要素???长度
?? （2）向量的模—有向线段的长度|AB|，|a| ??a长度等于1的向量叫做单位向量，a0??|a|
??? 零向量0（0的方向不定），|0|?0
（3）共线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。
??长度相等??（4）相等的向量——?a?b?方向相同?
?? 规定：0?0
向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。 规定：零向量与任一向量平行。 2. 向量有三种形式（或三种表示）
几何表示????几何运算代数表示????代数运算
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坐标表示????坐标运算
3. 向量的加法、减法与数乘
（1）向量的加法——三角形法则或平行四边形法则 如图：
向量加法的多边形法则
???如图，求a?b?c
（2）向量的减法： ??????a?b?a?(?b)，即向量a加上b的相反向量。
??（a?b的箭头指向被减向量）
（3）实数与向量的乘积
????长度|?a|?|?|·|a|???方向：??0时与a同向?????a???????0时与a反向??a∥a????????0时，?a?0????
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4. 向量的运算法则（加、减、数乘）
??? 设向量a，b，c及实数?，?，则：
???? ①a?b?b?a
?????? ②(a?b)?c?a?(b?c)
???③(???)a??a??a
???? ④?(a?b)??a??b
?? ⑤|?a|?|?|·|a|
?????? ⑥|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。）
5. 平面向量基本定理（向量的分解定理）
???e1，e2是平面内的两个不共线向量，那么对该平面内任一向量a，存在
???唯一实数对?1，?2，使得a??1e1??2e2。
（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的
??????和。?1e1??2e2叫做向量e1，e2的线性组合，e1，e2叫做表这一平面内所 有向量的一组基底。
?①基底不唯一，关键是不共线??? ?②基底给定，分解形式唯一? 应用：
??设OA，OB不共线，点P在直线AB上（即A、B、P三点共线）
????OP??OA??OB且????1（?，??R）
??????※b∥a（a?0）?存在唯一实数?，使b??a
（二）向量的坐标运算
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??1.在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴同方向的两个单位向量i，j作为基 ????底，则该平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使得a?xi?yj， ??称（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a?(x，y)，即为向量的坐标表
示。
???（如图，当把向量a的起点移至原点时，（x，y）是向量a?OA终点A的
??坐标，即Ax，y，x，y是向量a在x，y轴上的射影，与a相等的向量的坐标??
也相同。）
2. 向量的坐标运算
?? 已知a?(x1，y1)，b?(x2，y2)，??R
??????则：（1）a?b?(x1i?y1j)?(x2i?y2j)
????x1?x2?i??y1?y2?j
?x1?x2，y1?y2??
??（2）a?b?x1?x2，y1?y2，设Ax1，y1，Bx2，y2??????
???BA?a?b?x1?x2，y1?y2??
|AB|??x1?x2?2??y1?y2?2
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（三）平面向量的数量积 1. 数量积的概念
??????设向量OA?a，OB?b，∠AOB??叫做向量a与b的夹角。记作
?????a，b?，0???a，b??180?
??????（1）数量|a|·|b|cos?叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b
???? 即a·b?|a|·|b|cos?
?（3）?a??x1，y1??x1，?y1????（2）数量积的几何意义：
???????a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。
2. 数量积的运算法则
???????? （1）a·b?b·a，a·0?0·a?0
?????? （2）(?a)·b??(a·b)?a·(?b)???R?
??????? （3）(a?b)·c?a·c?b·c 注意：数量积不满足结合律！
??????（a·b）·c?a·（b·c）
?? （4）a?(x1，y1)，b?(x2，y2)，则
??a·b?x1，y1·x2，y2?x1x2?y1y2 3. 重要性质
????????（1）设e是单位向量，???a，e?，则e·a?a·e?|a|·cos?
????
????（2）a⊥b?a·b?0?x1·x2?y1·y2?0
??????????（3）a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|
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