高等数学B（上）试题1答案
一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.
（ √ ）3. 若f(x)在某点处连续，则f(x)在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.
（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.
（ × ）6. y?f(x)在点x0连续，则y?f(x)在点x0必定可导. （ × ）7. 若x0点为y?f(x)的极值点，则必有f?(x0)?0. （ × ）8. 若f?(x)?g?(x)，则f(x)?g(x).
二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设f(x?1)?x，则f(3)?16. 2．limxsinx??21＝x1。
x?11?2?x??3.lim?xsin?sinx?????x??xx?x?????1?e2.
4. 曲线x?6y?y在(?2,2)点切线的斜率为5．设f?(x0)?A，则limh?02323.
f(x0?2h)?f(x0?3h)＝
h5A.
6. 设f(x)?sinxcos31,(x?0)，当f(0)?x0时，f(x)在x?0点连续.
7. 函数y?x?3x在x??1处有极大值.
8. 设f(x)为可导函数,f?(1)?1，F(x)?f?
三、计算题（每题6分，共42分）
?1?2?f(x)，则F?(1)???x?1.
(n?2)(n?3)(n?4) . 3n???5n(n?2)(n?3)(n?4)解： lim
n???5n31．求极限 lim?2??3??4??lim?1???1???1?? （3分） n????n??n??n?
?1 （3分）
x?xcosx2. 求极限 lim.
x?0x?sinxx?xcosx解：lim
x?0x?sinx1?cosx?xsinx （2分） ?limx?01?cosx2sinx?xcosx （2分） ?limx?0sinx?3 3. 求y?(x?1)(x?2)2(x?3)3在(0,??)内的导数.解：lny?ln(x?1)?2ln(x?2)?3ln(x?3)，
y?y?1x?1?23x?2?x?3， 故y??(x?1)(x?2)2(x?3)3??1?x?1?2x?2?3?x?3??4. 求不定积分?2x?11?x2dx.
解：
?2x?11?x2dx
??11?x2d(1?x2)??11?x2dx ?ln(1?x2)?arctanx?C 5. 求不定积分?xsinx2dx.
解：?xsinx2dx
?12?sinx2d?x2? ??12cosx2?C 6．求不定积分?xsin2xdx. 解： ?xsin2xdx
?112?xsin2xd(2x)??2?xdcos2x ??12?xcos2x??cos2xdx?
（2分）
（2分）
（2分） （2分） （3分）（3分）（3分）（3分）（2分）（2分）
11??xcos2x?sin2x?C （2分）
247. 求函数y??sinx?cosx的导数.
解：lny?cosxlnsinx （3分）
y???sinx?cosx?1?cot2x?lnsinx? （3分）
四、解答题（共9分）
某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.
解：设垂直于墙壁的边为x，所以平行于墙壁的边为20?2x，
所以，面积为S?x(20?2x)??2x?20x， （3分）
由S???4x?20?0，知 （3分） 当宽x?5时，长y?20?2x?10， （3分） 面积最大S?5?10?50（平方米）。
五、证明题（共9分）
若在(??,??)上f??(x)?0,f(0)?0.证明：F(x)?增加. 证明：F?(x)?2f(x)在区间(??,0)和(0,??)上单调xxf?(x)?f(x)，令G(x)?xf?(x)?f(x) （2分） 2xG(0)?0?f?(0)?f(0)?0， （2分）
在区间(??,0)上，G?(x)?xf??(x)?0， （2分） 所以G(x)?G(0)?0，单调增加。 （2分） 在区间(0,??)上，G?(x)?xf??(x)?0，
所以0?G(0)?G(x)，单调增加。 （1分）
高数B(上)试题及答案
